4点が同一平面上にあることを示す問題

質問

問題は、
4点(0,0,0),(1,3,-4),(4,1,-13),(-2,5,5)が同一平面上にある事を行列式を用いて示せ。
という問題です。
私が解いたのは、(0,0,0)を基準点にして、ベクトルr1=(1,3,-4),r2=(4,1,-13),r3=(-2,5,5,)とおいて、r1=αr2+βr3となる実数α、βが存在することを、実際に解いて求めて示しました。でもこれだと、行列式を使わないので、どなたか、行列式を用いたやり方が分かる人がいたら、教えて下さい。
この問題には、ヒントが載っていたので、それも書いておきます。
(ヒント)題意より、位置ベクトルr1=(1,3,-4),r2=(4,1,-13),r3=(-2,5,5)が同一平面上にあることがわかる。3つのベクトルでどんな立体ができるのか。その立体の体積は…

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

平行六面体の特別な形で
「つぶれる」ケースがあるのを
考えればOKです
ヒントの
「3つのベクトルでどんな立体ができるのか。
その立体の体積は…」
のままですよ．

行列式は「体積要素」なんて呼ばれることもあり
積分の変数変換にもでてきますよね
行列式の値の絶対値は
そのベクトルが張る立体の体積だというのが
No.1さんがおっしゃってることです．

ちなみにmaydraftさんの解いた方法は
r1，r2，r3が一次従属であることを
具体的に係数を求めて表したわけです
一次従属はすなわち「同一平面上にある」
ということです．
一般にベクトルa，b，cに対して
a，b，cが一次従属であることと
行列(a b c)の行列式が0であるのは同値ですので
この性質を使えというのが
出題者の意図でしょう

＃何次元になってもこの性質は変わりません．

お礼

実際、3行3列の行列式を求めたら、ちゃんと0になりました。どうもありがとうございました。

回答No.3

eatern27

＞「r1,r2,r3の張る」とは、どういう事ですか？
http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa7html/node7.html

これの図6が、「a,b,cが張る平行六面体」です。

＞3次元空間になるのなら、同一平面上とは言えないのではないですか？

まずは、R^2で考えてみてみましょう。
a,bを並べて作った行列の行列式を求めて、(a,bはベクトルです)
a,bが張る平行四辺形の面積を比べてみてください。

特に、a,bが一次従属の時、
「a,bが張る平行四辺形」はどんな形になり、
a,bを並べて作った行列の行列式はいくつになるでしょうか？

参考URL：

http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa7html/node7.html

お礼

わかりやすいＨＰのアドレスを載せてもらいありがとうございました。おかげでどうにか証明できそうです。ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

R^2において、r1,r2を並べて作った2×2の正方行列の行列式は,r1,r2の張る平行四辺形の面積を表します。

同様に、R^3において、r1,r2,r3を並べて作った行列の行列式は、r1,r2,r3の張る平行六面体の体積を表します。

補足

「r1,r2,r3の張る」とは、どういう事ですか？3次元空間になるのなら、同一平面上とは言えないのではないですか？