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ブラケット記法がわかりません
いつもお世話になっています。 参考書読めば済んでしまう話とは承知しつつ、簡単なことだとも思うので、よろしくお願いします。 PとQはそれぞれ運動量、位置に対応する演算子だと思うのですが、 <x|Q＝x<x| <x|P＝-ih∂<x| となる、と教科書にありました。（hは2πで割ったやつです） 真空状態の波動関数を求めるのにΦ_0(x)=<x|0>とおいて、<x|a|0>=0と消滅演算子aをP、Qで表すことを用いて、方程式を導出しています。 物理になれてないので、混乱しているのですが、<x|Q|0>=x<x|0>がまったく理解できません。状態ベクトルはxの関数と思っているのでしょうか？それとも単なる抽象的なベクトルと思っているのでしょうか。0とかxとかがベクトルであったり、スカラーであったり、あるいはスカラー変数であったりといろんなように見えて、わけがわからなくなってしまってます。
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l0>も 、<xlも共にベクトルです。 無限次元のベクトルです。ですから、<xl0> というのは、ベクトルの内積なのでスカラーに なるかと思います。Φ_0(x)=<xl0>となるからには Φ_0(x)というのは、スカラーなのですがこれは 『あるxにおけるΦ_0(x)の値』がスカラーという ことです。ですから、Φ_0(x)という「関数全体」 は、ベクトルになるかと思います。xの細かい値につき、成分があるベクトルでしょう。 l0>というのは、直交する基底ベクトルはなんだか分からないけどとりあえず、真空の基底状態として こういうベクトルを定義しておこうということです。 <xlは、基底ベクトルが位置の物理量だとはっきりしています。おそらく、<xlという無限次元のベクトル は、あるxの値における成分のみ1で ほかの成分は0という描像ではないでしょうか。 3次元でいうi,j,kに対応すると思います。 ベクトルに行列をかけると、ベクトルが回転したりする変換を受けます。同様に、<x|Q＝x<x|なども、 <xlという無限次元のベクトルが、Qという行列により 変換を受けあるベクトルになるということです。 ですが、この場合は<xlという基底ベクトルは回転を受けないことを示しています。x倍されるだけです。 ややこしいですが、<xlという無限ベクトル自体の大きさ は1ですが、そのラベルである「xという値」を各基底ベクトル<xlにおのおのかけるということでしょう。 真空の基底状態l0>は、位置の関数として表すと、 おのおののxの値につき、<xl0>=Φ_0(x)という成分 を持つベクトル、という解釈です。l0>自体は xの関数でもなんでもなく、漠然としたベクトルでしょうね。
お礼
ありがとうございました。|0>=∫|x><x|0>と展開して、位置ケット|x>の成分が波動関数Φ_0のxでの値Φ_0(x)を与えていると思うわけなんですね。そしてQは|x>成分にはx|x>で作用するということなんですね。位置ケット|x>が位置演算子の固有状態である、という約束をよく知らなかったために混乱していました。
補足
ありがとうございます。|x>と書くからに|x>はＱの固有状態である、と認識すべきなのでしょうか。 運動量演算子の方はどう解釈したらよいでしょうか？正準量子化してＰ＝-ih(d/dx)とあらわしていると思いますが、これも状態ベクトル|x>や|0>に作用して変換を表すわけですよね？xで微分するというからには位置に関する微分なわけで、たとえば|0>は具体的にどのような変換を受けるのでしょうか？
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