ベクトル 演算 商

質問

ベクトルの演算について質問させていただきます。

ベクトルには和と差、および積（内積と外積、スカラー倍）等の演算があると
思いますが、ベクトルに商（割り算）とういう演算はないのでしょうか？

なぜベクトルの商がないのか気になったので質問させて頂きます。
なぜないのか教えて頂ければ幸いです。

ベクトルの内積における割り算を考えてみます。
a・x=bにおいて
aベクトルへのxベクトルの正射影とその積は、
｜a｜｜x｜cosθ=bとなります。
図で描けばわかるのですが、aとbが決まってもベクトルxが一意に決まらない
ため、つまりベクトルaへの正射影であるベクトルxはいくらでも存在する。
からベクトルの商というのは考えないのでしょうか？

外積にもどうようのような理由があるからでしょうか？

以上、説明が下手くそですが気になりましたのでご回答よろしくお願い
致します。

回答No.24

stomachman · ベストアンサー

No.21へのコメントについて

> 集合Xが、ある演算について「閉じている」とは、Xの元をどれでも

> 取ってきてその演算を行うと値はXの元のであると言う事。

　その通りです。また、同じ事を指して「演算pは集合Xで閉じている」という言い方もします。ここでは集合Vを固定した話をしているので、こっちの言い方を使っています。

> 内積・外積ともに、閉じていない。

　内積はVで閉じていない。
　しかし、外積は、Vで閉じています。ただ、結合法則が成立たない。

> 四元数とはクォータニオンと呼ばれるものでしょうか？

> オイラー角のところで、ジンバルロックを回避するということで

> 見たことがあります。

　その通りです。「ジンバルロック」は機械工学で「特異姿勢」と呼ばれます。多関節アームがこの状態にハマると、先端位置の自由な動きができなくなってしまう。また、四元数は「１枚歯の歯車」の設計理論に使われたことがあります。

お礼

ご回答本当にありがとうございました。
お陰様で理解することができました。

回答No.26

alice_44

(a, b) × (c, d) = (a × c, b × d) では、
(a, 0) × (0, d) = (0, 0) のように
ゼロでないものどうしを掛けてゼロになる場合があるから、
割算は定義できないね。
ちなみに、ここで「ゼロ」とは、加法単位元のこと。

実二次ベクトルに割算可能な掛算を定義する例としては、
(a, b) × (c, d) = (ac-bd, ad+bc) が有名。
三次以上の高次元へ拡張はできないが。

お礼

いつも、ご回答ありがとうございます。
＞(a, b) × (c, d) = (a × c, b × d) では、
＞(a, 0) × (0, d) = (0, 0) のように
＞ゼロでないものどうしを掛けてゼロになる場合がある
なるほど！！ありがとうございました。

回答No.25

noname#171582

http://dospara.okwave.jp/qa7431047.html

回答No.23

stomachman

#22 <

> 可換群を「加群」と言い替える用語法は、あまり関心できない。

確かに。
古い言い方ですね。「"+"の記号を使ってるからそう呼ぶの？」という誤解を生みやすいようにも思います。
ご指摘ありがとうございます。

回答No.22

alice_44

＞ ここまでの性質をまとめて、「Vは+について加群(かぐん)である」と言います。

確かに、そう呼んでしまう人は、プロの数学者にも一部いるけれど、
可換群を「加群」と言い替える用語法は、あまり関心できない。
"module" に敬意をはらって、「加法群」くらいにしておくがよい。

回答No.21

stomachman

抽象代数の初歩的な言葉をちょっと使ってみましょうか。

　x1, x2, x3が実数であるような3次元のベクトル(x1, x2, x3)の全体が作る集合Vを考えます。
　ここでVの要素x,yについて、ベクトルの和x+yを考えれば、答もVの要素である。このことを「和+はVで閉じた演算だ」と言って、
　　+ : V×V → V
と書きます。(この矢印は山なりのカーブで描くのが本当なんですが。）
　どんなx,y,z∈Vについても
　　(x+y)+z = x+(y+z)
が成り立つ(結合法則)。
　どんなa,b∈Vについても
　　a+x=b
となる元xがただ一つ存在するし、
　　y+a=b
となる元yもただ一つ存在する。（つまり引き算ができる。）
　どんなx,y∈Vについても
　　x+y=y+x
を満たす。（交換法則）

　ここまでの性質をまとめて、「Vは+について加群(かぐん)である」と言います。

　次にVに内積 x・yという演算を追加してみるとどうなるか。内積の答はVの要素ではなくて、スカラーです。
　　・: V×V→R
なので、内積・はVで閉じた演算ではない。この点で、普通の意味の「かけ算」とは明らかに違います。
　また、分配法則
　　a・(b+c)=a・b+a・c, (b+c)・a=b・a+c・a
は成り立つけれども、結合法則は成立ちません。
　　(x・y)・z = x・(y・z)　　… 成立たない
と書いてみると、なにしろ、　(x・y)・z は「スカラー(x・y)とベクトルzの内積??」という形になっていて、そもそも式が意味をなしていないんですから、ハナシになりません。
　どうやら、x・yは「かけ算」というよりも、何かxとyの類似性を測る関数f(x,y)（結果は実数）というだけのものだと思った方が良さそうです。

　では内積のことは忘れて、今度はVに外積x×yという演算を追加してみましょう。
　　×: V×V→V
すると、分配法則
　　a×(b+c)=a×b+a×c, (b+c)×a=b×a+c×a
は成立つけれども、
　　(x×y)×z = -x×(y×z)
なので結合法則が成立ちません。

　もし、加群の上で分配法則と結合法則が成立つなら、Vは+と×について「環(かん)」と呼ばれる代数系になるんですが、そうはなっていません。

　整数全体の集合や多項式全体の集合はどちらも普通の足し算とかけ算について環になっている。それぞれ整数環、多項式環と呼ばれます。（でも割り算はできません。余りが出てしまって、答が元の集合に収まらない（閉じた演算にならない）からです。）

　というわけで、外積は「かけ算」と呼ばれるにはちょっと及ばず、といったところでしょうか。

　さて、割り算もできる代数系が体(たい)です。有理数全体の集合、実数全体の集合、複素数全体の集合は普通の足し算とかけ算について体ですね。有理数体、実数体、複素数体と呼ばれます。
　四元数体(しげんすうたい)というのもあります。四元数は3次元空間内での回転を表すのに大変便利なので、CGなどに広く応用されていまして、かけ算が可換ではない（a×b≠b×a）のが特徴的です。

　行列式が0でないn次正方行列の全体Sは、行列の和と行列の積について体になっているでしょうか。
　引き算x-xによって、零元、つまり全ての要素が0である行列が得られますが、これはSの要素ではない。つまり、Sの中では引き算が出来ない。だからSは体や環どころか加群にすらなっていません。
　しかし、Sは行列の積については、
　　どんなx,y,z∈Sについても (xy)z = x(yz)
　　どんなa,b∈Sについても ax=b となるxがただ一つ存在する。
　　どんなa,b∈Sについても xa=b となるxがただ一つ存在する。
を満たし、ただし交換法則だけは満たさない。このことを、Sは行列の積について非可換群になっている、と言います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私にとっては、抽象的で難しくなってきました。
環や体や郡と言う言葉は聞いたことがあったのですが
ご回答でおおよそ理解できました。

「閉じる」については、線形空間のところで勉強した記憶があります。
集合Xが、ある演算について「閉じている」とは、Xの元をどれでも
取ってきてその演算を行うと値はXの元のであると言う事。
ですね。

内積・外積ともに、閉じていない。
よって、単純な掛け算ではないのですね。

四元数とはクォータニオンと呼ばれるものでしょうか？
オイラー角のところで、ジンバルロックを回避するということで
見たことがあります。CGなどで応用されると書いてあった気がします。

以上、ご回答ありがとうございました。

回答No.20

alice_44

いきがかり上、No.3 から見返してみたが、
No.7, 11, 13, 19 に、商と称するものの例が挙げてあるだけで、
それをどうやって計算するのか、何も説明がない。
(a,b)÷(x,y) の値を a,b,x,y でどう表すつもりかが書いてあれば、
その定義で上手くいくか否かを論ずることもできようが…
あれじゃねえ。

唯一意味があると思われる書き込み No.15 については、
A No.18 に書いたことに尽きる。
定数 β と定ベクトル a に対して a・x = β を満たす x を考えると、
a と x の成す角 θ は、x に伴って変化する。(定数の訳がない。)
この事情がよく飲み込めなければ、高校生用の学習参考書で
直線のベクトル表示に関する記述を一読してみれば、
そこに出ている図に θ を書き込むことができるだろう。

A No.2 に書いたことだが、掛算があれば割算があるという考え方は
捨てた方がいい。足算の定義された集合では、分配法則さえ満たせば
第二の演算を掛算とみなすことが可能で、実に様々な「掛算」を定義
してみることができる。しかし、それらの「掛算」に対して「割算」が
定義できるためには、a,b に対して ax=b となる x がただ一つ在る
という性質を「掛算」が持っている必要があり、どの「掛算」でも
そうなっている訳ではないのだ。その意味で、有理数や実数の掛算に
割算があるということは、興味深い重要な性質だと言える。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

a=(0,1)のときに a・x が x = (0,1), x= (1,1), x= (2,1)
のどれについても1になるということについて、

a・x=βより、
(0,1)・(0,1)=0・0+1・1=1
(0,1)・(1,1)=0・1+1・1=1
(0,1)・(2,1)=0・2+1・1=1
ここで、｜a｜｜x｜cosθ=βを考えると、
｜x｜cosθにおけるθは、xによって変化すると認識しております。
この認識で良いのですよね？

＞掛算があれば割算があるという考え方は
＞捨てた方がいい。
今回の件で、わかりました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.19

noname#171582

#3で述べてるようにベクトルの商は存在する。

ベクトルA,Bを
A（9/2、９√３/２）
B（５√３、5/２）
とする時
A（9/2、９√３/２）
--------------------
B（５√３/２、5/２）

＝9/5C(√３/２、1/2）
となる。

回答No.18

stomachman

#17<

　業務連絡。業務連絡。

　あたしゃごめんです。なんとかなるとお思いなら、よろしくねっ

回答No.17

alice_44

θは定数なのか、バラメータ(自由変数)なのか、
と質問しているようだ。 そのどちらでもなく、
θはxの関数(従属変数)であることを
教えてあげればよいのではないか？

回答No.16

stomachman

ANo.14へのコメントについてです。

　ご質問にある、以下の部分は完璧に正しい：

> ベクトルの内積における割り算を考えてみます。

> a・x=bにおいて
> aベクトルへのxベクトルの正射影とその積は、

> ｜a｜｜x｜cosθ=bとなります。

> 図で描けばわかるのですが、aとbが決まってもベクトルxが一意に決まらない

> ため、つまりベクトルaへの正射影であるベクトルxはいくらでも存在する。

まさにその通りです。正しく理解なさっている。だから、自信を持って良いんですよ。

　しかし、たとえば　a=(0,1)のときに a・x が x = (0,1), x= (1,1), x= (2,1)のどれについても1になるということを確かめたり、(1,2)・(1/5, -1/5)がいくらになるかをチェックするには、内積を具体的に計算できるスキルが必要です。

　そのために内積について知っておくべきなのは、これだけ：
二つのn次元ベクトル a = (a1, a2, …, an), x = (x1, x2, …, xn)について、aとxの内積は
　　a・x = a1 x1 + a2 x2 + … + an xn
である。と、たったのこれだけです。これさえ分かっていれば、これすら分かっていないひとの言い分に惑わされるようなことは起こらないでしょう。

　なお、ベクトルの長さ|a|および二つのベクトルがなす角度θについて考えるには、もう少し知識が必要になります。すなわち：
　　|a| = √(a・a) = √(a1^2 + a2^2 + … + an^2)
　　|a||x|cosθ =a・x
であるということ。もちろん、ここに出て来る実数xの平方根 √x と、実数θに関する三角関数 cosθ が分かってないといけない訳ですが。

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ございません。

内積については、公式的なものを記憶していたに
過ぎませんでした・・・

スカラーとベクトルの内積計算というものは
ないのですね。
ここが、私が理解できていない点でした。
計算しているものがベクトルなのかスカラーなのか
しっかり考えていなかった点が間違いの原因でした。

a=(0,1)のときに a・x が x = (0,1), x= (1,1), x= (2,1)
のどれについても1になるということを確かめてみます。

a・x=βより、
(0,1)・(0,1)=0・0+1・1=1
(0,1)・(1,1)=0・1+1・1=1
(0,1)・(2,1)=0・2+1・1=1
とすべてβ=1となりました。
よって、x = (0,1)+(γ,0) (γは任意の実数）です。
前回の内容ですが、(1,2)・(1/5, -1/5) = 1は成り立ちません。

>「スカラーβをベクトルaで割る（β/a）」ということを「内積の逆」、
>すなわち「a・x=βを満たすx」のことだと定義した場合、
>xはaと平行な成分については一意的に決まるが、
>aと直交する成分は任意である。このためxは一意的には決まらない。
>たとえば1/(0,1)をやってみると、(0,1)・x=1 となるxは
>x = (0,1)+(γ,0) (γは任意の実数）ということ。
γが直交成分ということですね。理解しました。

外積についても同様だと思いますので、自分で確かめてみます。

以上、ご回答本当にありがとうございました。