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微分についての問題です

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  • 質問No.205882
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お礼率 32% (120/368)

関数f(x、y、z)=axy^2+byz+cz^2x^3のX=(1,2、-1)における方向微分係数の値がV=(1/√3、1/√3、1/√3)の方向において最大であり、その値が32√3となるようにa,b,cの値を定めよ。
という問題なんですが、最大について、どのようにあつかえばいいのかわかりません。答えはa=11、b=12、c=-4です。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.6
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

s,x,y,zをそれぞれ実数の変数とする
ψ(x,y,z)をx,y,zに関して連続微分可能な実数値関数とする
a,b,cをそれぞれ実数とする
α,β,γをそれそれ実数とする
α^2+β^2+γ^2=1とする
u(s)≡a+α・s,v(s)≡b+β・s,w(s)≡c+γ・sとする
G(s)≡ψ(u(s),v(s),w(s))とする
∇ψ(a,b,c)と(α,β,γ)のなす角をθとする
すると
d(G(0))/ds=∇ψ(a,b,c)・(α,β,γ)=|∇ψ|・1・cos(θ)
である

方向微分係数d(G(0))/dsが最大になるのはθ=0のときである
そのとき(α,β,γ)と∇ψ(a,b,c)は同一方向
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  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

問題か答えがおかしくない? f(1、2、-1)=4a-2b+C=0 だよね。 ここでa=11、b=12、c=-4を代入すると、 44-24-4=16≠0 ∴答えが違うか問題が違う。 ...続きを読む
問題か答えがおかしくない?
f(1、2、-1)=4a-2b+C=0 だよね。
ここでa=11、b=12、c=-4を代入すると、
44-24-4=16≠0

∴答えが違うか問題が違う。
補足コメント
ikecchi

お礼率 32% (120/368)

多分問題も答えも正しいと思われます。自分がわかるのはφ(t)=f(X+tV)として、φ’(0)=32√3とするところまでです。あと、なんでf(X)=0になるのですか??自分にはわかりません。
投稿日時 - 2002-01-27 07:33:46


  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) =(ay^2+3cx^2z^2,2axy+bz,by+2czx^3) 出来るところまで書くのが礼儀です。
(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
=(ay^2+3cx^2z^2,2axy+bz,by+2czx^3)

出来るところまで書くのが礼儀です。
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

α=(1,0,0),β=(0,1,0),γ=(0,0,1)として 連立方程式 ∇(f(X))・V=32・√(3) ∇(f(X))・α=∇(f(X))・β=∇(f(X))・γ を求めればいいのでは? ...続きを読む
α=(1,0,0),β=(0,1,0),γ=(0,0,1)として

連立方程式
∇(f(X))・V=32・√(3)
∇(f(X))・α=∇(f(X))・β=∇(f(X))・γ
を求めればいいのでは?
補足コメント
ikecchi

お礼率 32% (120/368)

∇(f(X))・V=32√3はわかるんですが、
次のグラディエントとα、β、γと内積をとる意味がわかりません。これと最大とどのような関係があるのでしょうか?また、α、β、γを単位ベクトルとおく意味もわかりません。すみませんが補足説明をいお願いします。
投稿日時 - 2002-01-27 17:36:03
  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

連立方程式 ∇(f(X))・V=32・√(3) ∂(f(X))/∂x):(∂(f(X))/∂y):(∂(f(X))/∂z) =1/√3:1/√3:1/√3=1:1:1 を解け ならどうでしょう? ∇(f(X))は傾き最大の方向を向いているのでは? ...続きを読む
連立方程式
∇(f(X))・V=32・√(3)
∂(f(X))/∂x):(∂(f(X))/∂y):(∂(f(X))/∂z)
=1/√3:1/√3:1/√3=1:1:1
を解け

ならどうでしょう?
∇(f(X))は傾き最大の方向を向いているのでは?
補足コメント
ikecchi

お礼率 32% (120/368)

何度も何度もすいません。やはりどうしても2つ目の式の意味がわかりません。どうして等式としてあつかえるのでしょうか?また最大との関係もいまひとつわかりません。
すいませんこのことを重点的に教えてください。
投稿日時 - 2002-01-28 20:38:27
  • 回答No.7
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

p:q:r=1:1:1⇔p=q=r についての説明を求めているのではないですよね? 「どうして等式としてあつかえるのでしょうか?」 の意味が理解できませんでした ...続きを読む
p:q:r=1:1:1⇔p=q=r
についての説明を求めているのではないですよね?

「どうして等式としてあつかえるのでしょうか?」
の意味が理解できませんでした
お礼コメント
ikecchi

お礼率 32% (120/368)

何度も何度もすいませんでした。ヨウヤク理解することができました。なかなか知識が実践であらわされないことに残念です。ほんとうにありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-01 15:24:20
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

ψをx,y,zの関数とする 点Pの座標を(x,y,z)とする 点Pから直線gを引く g上点Pの近くの点をQとする 点Qの座標を(x+dx,y+dy,z+dz)とする 点Pから点Qに向かう長さをdsとする gと∇ψのなす角をθとする √((∂x/∂s)^2+(∂y/∂s)^2+(∂z/∂s)^2)=1 だから ∂ψ/∂s=∂ψ/∂x・∂x/∂s+∂ψ/∂y・∂y/∂s+∂ψ/∂z・∂z/∂ ...続きを読む
ψをx,y,zの関数とする
点Pの座標を(x,y,z)とする
点Pから直線gを引く
g上点Pの近くの点をQとする
点Qの座標を(x+dx,y+dy,z+dz)とする
点Pから点Qに向かう長さをdsとする
gと∇ψのなす角をθとする
√((∂x/∂s)^2+(∂y/∂s)^2+(∂z/∂s)^2)=1
だから
∂ψ/∂s=∂ψ/∂x・∂x/∂s+∂ψ/∂y・∂y/∂s+∂ψ/∂z・∂z/∂s=∇ψ・(∂x/∂s,∂y/∂s,∂z/∂s)
=|∇ψ|・1・cos(θ)
方向微分係数∂ψ/∂sが最大になるのはθ=0のときである

これは∇の基本的性質ではないでしょうか?
  • 回答No.8
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

答えを出してないので問題が正しいかどうか分からないのですが もし良かったら結果を報告せていただければありがたいのですが   よろしくお願いします
答えを出してないので問題が正しいかどうか分からないのですが
もし良かったら結果を報告せていただければありがたいのですが
 
よろしくお願いします
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