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微分の問題？？
Z＝Z（ｘ，ｙ）がｘ＋ｙだけの関数であるための必要十分条件はZⅹ＝Zｙである事を示せという問題があるのですが、これって、Ｚはｘとｙで表された関数で、Ｚをｘで一回微分したものと、Ｚをｙで一回微分したものが同じであって、それがｘ＋ｙだけの関数である事を示せって事ですよね？ なんで、ｘ＋ｙだけの関数になる！って事が言えるのか分からないのですが、誰か分かる方回答よろしくお願いいたします。
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No.2補足の回答です。 ＞(∂Z/∂x)=(df/dt)(∂t/∂x)=(df/dt)=(df/dt)(∂t/∂y)=(∂Z/∂y) これは合成関数の微分法です。 たとえば、f(t) = Z(x), t = x + a (aは定数）とすると、 dZ/dx = (df/dt)(dt/dx) = (df/dt)*1 (∂Z/∂x)は、yを定数扱いしてxで微分するので、これと同じことになります。
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- shkwta
- ベストアンサー率52% (966/1825)
Zxというのは(∂Z/∂x)、Zｙというのは(∂Z/∂y)のことですね？ 必要条件は、 t=x+y, f(t)=z(x,y) とおいて (∂Z/∂x)=(df/dt)(∂t/∂x)=(df/dt)=(df/dt)(∂t/∂y)=(∂Z/∂y) 十分条件は t=x+y, u(x,t)=z(x,t-x)=z(x,y) とおいて、 (∂u/∂x) = (∂z/∂x) - (∂z/∂y) = 0 という方針でやれば示せると思います。
補足
丁寧な回答ありがとうございます。 (∂Z/∂x)=(df/dt)(∂t/∂x)=(df/dt)=(df/dt)(∂t/∂y)=(∂Z/∂y) って、どういう事を表しているのかイマイチ分からなくて、教えていただきたいのですが・・・。
- eatern27
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例えば、u=x+y,v=x-yと変数変換して、 ∂Z/∂v=0 である事を証明できれば、 Zはvにはよらない関数、つまり、u(=x+y)のみの関数であると言えるんじゃないないですかね。
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