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なんで積分すると面積が求まるのですか？
学校で積分を学んでいますが、面積を習うという最初の日に欠席してしまったのでわけがわからなくなってしまいました。教科書を見ると、「求める面積を細かく分けて全部たす」ということをやっているようだということがわかりました。この部分に関してはわかったのですが、これがどうして微分の逆をやる、つまり係数＋１の逆数を掛けて係数を増やす(IIの範囲では)だけでこんなに簡単に求められてしまうのか？ということがわかりません。微分も係数を前に出して1減らすだけですがこれでどうして接線が求まるかというのはhを０に近づけて・・・というのがあったので割と簡単にわかりましたが積分にはそういうのがないのでわかりません。 どうしてでしょうか？
- shunti
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題意がよくわからないのですが厳密な議論は前の方の通りです。質問の微分係数のような大まかな議論では、 関数f(x)の（面積を表す）原始関数をF(x)とし、xがΔx変化したときのF(x)の変化ΔF(x)を考えます。すると、面積の右端xでの変化量は近似的にf(x)Δxになります。 すなわち、ΔF(x)=F(x+Δx)-F(x)≒f(x)Δx。 すなわち、ΔF(x)/Δx≒f(x)。 ここで、Δx→0とすれば、dF(x)/dx=f(x)。 始めは「なんで積分すると面積が求まるのですか？」が質問と思ったのですが。
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- sanori
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すみません。誤記訂正。 【誤】 棒１本の面積を求めてみましょう。 （中略） ですから、 棒の面積 ＝ 棒の幅×高さ ＝ ゼロ×ａ ＝ ゼロ 【正】 棒１本の面積を求めてみましょう。 （中略） ですから、 棒の面積 ＝ 棒の幅×高さ ＝ ゼロ×ｆ（ａ） ＝ ゼロ 訂正ついでに一言。 さっき、一番最後に 「 棒の幅→０ 」 って書きましたけど、 積分の式で ∫なんちゃらｄｘ って書きますが 「ｄｘ」は、無限に細い棒の幅だと思っておけば間違いないです。 つまり、「なんちゃら」（＝高さ）にｄｘ（幅）を掛けたものが棒１本の面積で、 「∫」は、無限本の合計を表す記号です。
- sanori
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＃４さんが紹介された図がいいですね。 ちょっと解説します。 横軸Ｙが底辺、縦軸Ｘが高さ。 「面積とは、棒グラフの棒の面積」です。 この理解で９９％正しいです。 例えば「Ｙ＝５」のような、Ｘ軸に全く平行な直線で表される関数ですと、棒グラフのてっぺんは、関数の線にぴったり一致します。 しかし、ぴったり一致するのは、上述の場合だけで、他の関数は全部、棒の先っちょを、関数の直線や曲線にぴったり合わせることができません。 どうやっても、隙間が出来たり、逆に、はみ出したりします。 そこで、棒グラフの棒の１本１本の横幅を細くしたらどうでしょうか？ 細くすればするほど、だんだん、関数の曲線にぴったりに近くなってきます。 実は、棒１本の幅をゼロ（の極限）にして、全ての棒の面積の合計をしたものが、「積分」です。 関数ｙ＝ｆ（ｘ）を考えます。 そして、区間がｘ＝０からｘ＝ｂまでの面積を考えます。 そして、０とｂの間にａという数があるとします。 棒１本の面積を求めてみましょう。 ｘ＝ａのところの棒１本を考えましょう。 棒の幅はゼロ 棒１本の高さはｆ（ａ） ですから、 棒の面積 ＝ 棒の幅×高さ ＝ ゼロ×ａ ＝ ゼロ あれ？ 面積がゼロになっちゃいましたね。 ｘ＝ａでなくても、全ての場所で、棒の面積はゼロです。 あと、棒の本数も数えてみましょうか。 面積を求めるｘの範囲は０からｂまで、つまりｂが棒の幅の合計になるはずなので、 そして、１本の棒の幅はゼロなので、 棒の本数 ＝ ｂ ÷ ０ 積分とは、全部の棒の面積を合計したものですから 積分の答え ＝ 棒の本数×棒の面積 ＝ ｂ÷０×０ ＝ ？？？ ゼロを掛けたら、どんな数でもゼロになるはずだし、 逆にゼロで割ったら無限みたいになるし、 じゃー、ゼロを掛けてゼロで割ったら・・・？？？ ということになりますよ？ 失敗しました。 たぶん、はるか昔の数学者も、ここでつまづいたんじゃないでしょうか。 どうやれば、うまくいくか。 このパズルを解いた人がいました。微分積分は、たしかニュートン（？）が最初だったと思います。歴史年表を見ると、彼が微分法が始めたことを「微分法の発明」とは書いていません。「微分法の発見」と書いています。天の神様（？）が出題したパズルですからね。 では、もう１回チャレンジします。 何か具体的な関数でやるのがよいですが、 冒頭で述べたＹ＝５だと、つまらないので、 ２番目に簡単な関数 ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ でやります。 区間は、ｘ＝０からｘ＝ｂまでとしましょう。 では始めます。 ｘ＝ａのときのｙの値は、ｙ＝ａ ですよね？ では、棒グラフの棒の幅を決めるために、 棒の本数をｎ本とします。 すると、１本の棒の幅はｂ／ｎ 次に高さを考えます、 ｙ＝ｘ という関数ですから、 ｘ＝ａのとき、ｙ＝ａ つまり、ｘ＝ａの地点の棒は、高さａです。 １本の幅がｂ／ｎなので、横方向のピッチｂ／ｎで登っていく階段のような形になります。 階段が何番目かをｋで表すことにします。 ｋ＝１のとき、つまり、１段目（１本目の棒）のとき ｘ＝ｂ／ｎ ｋ＝２のとき、ｘ＝２・ｂ／ｎ ｋ＝３のとき ｘ＝３・ｂ／ｎ ・・・・・ では１本１本の棒の高さを求めましょう。 ｋ＝１のとき、つまり、１段目（１本目の棒）のとき ｘ＝ｂ／ｎ そのときの棒の高さは大体ｙ＝ｘ＝ｂ／ｎ ｋ＝２のとき ｘ＝２ｂ／ｎ → 棒の高さは大体ｙ＝ｘ＝２ｂ／ｎ 同様に ｋ＝３ → ｙ＝３ｂ／ｎ ｋ＝４ → ｙ＝４ｂ／ｎ ・・・・・ ｋ＝ｎ－１ → ｙ＝（ｎ－１）ｂ／ｎ ｋ＝ｎ → ｙ＝ｎｂ／ｎ これで高さが求まったので、１本１本の面積を出します。 棒の幅は全部ｂ／ｎですから、上述の高さに全部幅をかければよいですね。 ｋ＝１のとき、つまり、１段目（１本目の棒）のとき 棒の面積は 大体 ｂ／ｎ×ｂ／ｎ ＝ ｂ^2／ｎ^2 ｋ＝２のとき 棒の高さは 大体 ｂ／ｎ×２ｂ／ｎ ＝ ２ｂ^2／ｎ^2 同様に ｋ＝３ → ｙ＝３ｂ^2／ｎ^2 ｋ＝４ → ｙ＝４ｂ^2／ｎ^2 ・・・・・ ｋ＝ｎ－１ → ｙ＝（ｎ－１）ｂ^2／ｎ^2 ｋ＝ｎ → → ｙ＝ｎｂ^2／ｎ^2 ｋ＝１からｋ＝ｎまで全部足せば、棒グラフの面積（積分）になります。 １本１本の棒の面積に全て ｂ^2／ｎ^2 が掛けられているので、それ以外のところだけ抽出すると １＋２＋３＋４＋・・・・・＋（ｎ－１）＋ｎ これは、 ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）・・・・３＋２＋１ と同じなので、 上と下を足せば、 （ｎ＋１）がｎ個ありますから、 結局 １＋２＋３＋４＋・・・・・＋（ｎ－１）＋ｎ ＝（２分の１）×ｎ（ｎ＋１） 仕上げに、さきほど除いていたｂ^2／ｎ^2を掛けて ｂ^2／ｎ^2・（２分の１）×ｎ（ｎ＋１） ＝ ｂ^2／２ × （ｎ＋１）／ｎ ＝ ｂ^2／２ × （１＋１／ｎ） ＝総面積 これで面積が求まりました！ 棒１本の幅を縮めれば縮めるほど、つまり棒の本数ｎを増やせば増やすほど、面積の精度が上がっていきます。 総面積 ＝ ｂ^2／２ × （１＋１／ｎ） において、ｎを無限（＋∞）にしたときを考えます。 すると 正確な総面積 ＝ ｂ^2／２ あれ？ これって、二等辺直角三角形の面積ですよね？ ２辺の長さがｂの。 では、教科書に書いてある通りに積分して、結果を比べましょうか。 ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ ∫ｙ・ｄｘ ＝ ｘ^2／２ ＋Ｃ これをｘ＝０～ｂで定積分すれば （ｂ^2／２ ＋Ｃ）－（０^2／２ ＋Ｃ）＝ｂ^2／２ ほらね？ 以上で説明を終わりにしますが、 なお、以上の説明では、 棒の本数→無限 で書きましたが 教科書では、たぶん 棒の幅→０ で書いてると思います。
お礼
これが区分求積法というヤツですね すこし理解が深まったような気がします 回答ありがとうございました
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
「微積分学の基本定理」といいます。高校でもたぶん証明（説明）はされていると思いますが、ごまかされているという感じはあるかもしれません（わたしも高校生の頃はそう感じました）。これを厳密に証明するには、積分の平均値の定理（直感的に明らかですが）を使います。 下記ＵＲＬを参考にして下さい。
お礼
こちらのヴァージョンが古くて閲覧できませんでした。平均値の定理は学校で習いましたが＞直感的に明らか とまではいきません（私の頭では） 回答ありがとうございました
- Kemi33
- ベストアンサー率58% (243/417)
こちらのサイトの「積分 1」を御覧になってみて下さい。あるいは，最初から順番に目を通した方が解り易いかも。 ・http://phaos.hp.infoseek.co.jp/contents.htm 微分積分いい気分
お礼
積分１を見ました。区分求積法で和を取ったらたまたま微分の逆だっただけですか？？？
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