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積分の意味のコトですが。

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学校で、積分すると面積になると習いました。 例えば、
1
∫x^2dx = 1/3(1)^2 - 1/3(0)^2 = 1/3 = lim1/n[(1/n)^2 + (2/n)^2+ ・・
0                      n→∞

・・ + {(n-1)/n}^2 ] = lim1/6(1 - 1/n)(2 - 1/n) = 1/3
            n→∞
だそうですが、なんでですか?たしかに極限とってる式のトコは面積ですが。
    1
なぜ、∫x^2dx が、y=x^2,x=1,y=0に囲まれた部分の面積になるんですか?
    0

ビブンが接線の傾きになるコトはわかるんですよ。
しかし、その逆、積分はどうしても、なぜ面積になるのかわからないので、
気持ち悪くて、、、

なんか、教科書って、微分はどうやって傾きになるのかハッキリ書いてあるのに、
積分が面積になるってことは、ハッキリ書いてなくないですか?
ぼくのだけかなぁ、、、
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  • 回答No.7
レベル6

ベストアンサー率 44% (4/9)

これははっきり言って
現在の高校の数学カリキュラムがおかしいのです。
x^2の不定積分は x^3/3 というのは、やさしくて覚え易いということで
安直に教えていますが、これをやってしまうのでいつまでも積分の意味が
分からないのです。教科書では 区分求積法 のところで説明している
ことになっていますが、十分に強調されていません。

まず、定積分があってはじめて不定積分があるのです。(不定積分F
を求めてF(b)-F(a)とするのは、計算法であって定義ではありません。
もとのf(x)から不定積分F(x)を多項式とか対数、指数関数等で具体的に
書けるのは限られたものしかありません)

定積分の直観的な説明は、簡単のためにf(x)>=0とすると、a<bのとき

x=a、x=b、y=0、y=f(x)

で囲まれた部分の面積を f(x) の x=a から x=bまでの(定)積分と
します。(f(x)の符号が変わるときは正の部分と負の部分に分けて
負の面積は-1倍して負の面積にして足します)

そうすると、面積は何か? ということが問題になります。
f(x)が多項式とか、グラフが円周の一部のような場合は面積という
ものを考えるのにあまり抵抗がありませんが、
たとえばf(x)が無限に細かく振動している場合(例えば x*sin(1/x))
とか、不連続な場合(xが有理数のとき1で、無理数のとき0)
のような場合y=f(x)の下の部分の面積とは何でしょうということに
なります。

そこで数学的には、逆転して、定積分が定まったときその値を面積と定義
します。(実は、小学校でならった円の面積にしても、厳密には積分の
概念を用いなければ説明になっていないのです。ただ一つ、長方形の
面積がたて*よこ であるというのだけが根拠となる概念で、3角形の
ように有限の手続きで長方形に帰着できるものはOKで、多角形は有限個の
3角形に帰着できるのでよいのですが、円の面積は正多角形で近似して
行くのでどうしても極限の概念が必要です)

では定積分はどのように定義するかというと、区間[a,b]を分割して
a<a_1<a_2<...<a_n=b
のように分割点をとり、i=1からnまでの和

Σ f(x_i)(a_i-a_{i-1})

を考えます(a_0=aと理解してください)。ここでx_iは[a_{i-1},a_i]
の点を一つずつ選んでおきます。この形のものをf(x)のリーマン和と
いいますが、ここで分割を限りなくこまかくしたときの極限が存在すれば
それをf(x)の区間[a,b]での積分と定義します。ここでx_iの選び方を
どのようにとっても、同一の値に収束するとき始めて積分が定義されます。

f(x)>=0のとき、リーマン和は
[a_{i-1},a_i]の幅で高さf(x_i)の長方形の面積を足したものなので
”y=f(x)の下の部分の面積と考えられるべきもの”の近似値と考えられます。
とくにf(x_i)が[a_{i-1},a_i]で最大になるようにとったときの値をM、
あるいは最小であるようにとったときの値をmとすれば
”y=f(x)の下の部分の面積と考えられるべきもの”はm以上M以下である
ことになります。分割点を増やしていくとMは減少し、mは増加しますが、
積分の存在はこれらが同じ極限値に収束することを要求しているわけです。
したがって”y=f(x)の下の部分の面積と考えられるべきもの”があると
すれば、この極限値以外に考えられないということになるので積分に
よって面積を定義することが正当化されます。本当は、これまで知っている
面積は積分を用いて計算しても昔から知っている値になることを一度
確かめておかなければなりません(このあたりのことが”区間求積法”
のところに非常にへたくそに書いてあるのですが)

f(x)が[a,b]で連続であればaからbまでの積分が存在することが
証明できます。(つまりリーマン和がx_iの選び方によらず
一定の値に収束することが証明できます。このためには有界閉区間に
おける連続関数は一様連続であるという定理が必要で、この一様連続性
を定義するためには、いわゆるεーδ論法が必要です。さらに実数の
連続性ということも。)
f(x)が単調増加か単調減少な連続関数であれば、もっと楽に積分の存在
を示すことができます(リーマンの証明)。したがって、極大極小が
有限個しかない連続関数であればリーマンの証明で十分です。


つぎにf(x)のaからbまでの積分をbの関数と考えて、F(b) と書くことに
します(f(x)は少し広いところで定義されているとしてください)
このF(b)の微分を考えると
(F(b+h)-F(b))/h
のh→0のときの極限ということですが、積分の定義を考えると
F(b+h)-F(b)は min*h と max*h の間にあります。ここで min max は
[b,b+h]におけるf(x)の最大値と最小値です。これをhで割ってh→0とすると
min max はf(b)に収束するので、問題の比もf(b)に収束することがわかり
F'(x)=f(x) であることがわかります(h<0の場合もやらなければいけませんが)

つまり、定積分をbの関数と考えればそれがf(x)の不定積分の一つになって
いるわけです(これを、すでに知っている関数で表せるか否かは別問題です)。
たまたま何かの方法でG’(x)=f(x)であるGが得られていれば、FとGは
定数だけの違いなので G(b)-G(a)を求めることで定積分を計算できます。
この部分が高校で微積分として教えられていることの主たる(ゆがんだ)
部分です。

最後に積分はただ計算するだけのものでなく、概念として非常に大切です。
面積もそうですが、曲線の長さも積分を用いないと定義できません。
もっと重要なのは、重心を求めるときのモーメントも、質点だけを
考えているときは四則演算ですみますが、板のような連続体を考えたり、
さらに一様でないものを考えると積分なしでは定義できません。(面積の
ように直観的に存在が分からないので、近似値としてのリーマン和を
作ってその極限をとらざるをえません。このとき、上に述べた、x_iを
どのように選んでも同じ極限であるということが、その定義が正しいと
いうことの一つの保証になるのです)
また物理の法則は、もとは積分=0という形のものが多く(ある種の保存則と
いうこと)、通常書かれているのは、それから被積分関数=0を導いて
法則としています(多次元の積分になるのでもっと複雑な手続きになりますが
本質的にはそうです)

最近病院でよく使われるCTスキャンの理論も積分なしではできません。
たとえばある形の障害物をおいて種々の方向からX線をあてて反対側で
観測すれば、減少したX線の量によって、その方向に切ったときの
障害物の長さが分かります。これからもとの形を復元するために
ラドン変換という積分を用いることができます(数学者はかなり前から
これを知っていたようです)。これをコンピューターと結び付けて
瞬時に計算(近似計算)を行い画像表示できるようにしたものがCTです

あるいはCDでデジタルに録音する場合、音の波を色々な波長がどのくらい
あるかという量に変換して記録します。これがまず積分です(基本的に
フーリエ変換と呼ばれるものでsin mxとかcos mxを掛けて積分した
ものです)再生するときは、フーリエ逆変換と呼ばれる、やはり積分
によって音の波を復元するのです。実際にはウエーブレット変換のように
少し修正したものが使われているかも知れませんが根本の考え方は
変わらない筈です。
補足コメント
noname#4530

あの後しばらく考えることを断念していたのですが、
このたび、ヒマができたので、参考書片手にもっぺん考えてみました。
そしたら、完全理解まで後一歩だったことが判明したので、
ポイント発行ついでに、ココに報告をさせていただきます。


∫f(x)dx(aからb)が、f(b)の不定積分の一つというところまで解っていたんですが、
その先が解らずに挫折していました。が、このたび、ふと気付きまして、めでたく
理解することができました。

d/db{∫f(x)dx(aからb)} = f(b)だから、この両辺をbで積分して、

∫f(x)dx(aからb) = F(b) + C ( F(b)はf(b)の不定積分の一つで、Cは任意定数 )

これよりb = aとして、0 = ∫f(x)dx(aからa) = F(a) + C よって、C = -F(a)

これを2つ目の式に代入して、∫f(x)dx(aからb) = F(b) - F(a)

ここでbを定数とみなせばOK、 ということだったんですね。

7月上旬のときは、

d/db{∫f(x)dx(aからb)} = f(b) という式を実際に紙に書かずに考えていたので

気付けなかったようです。

そんなこんなでやっとスッキリすることができました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-07-31 21:56:59
お礼コメント
noname#4530

ひじょおに詳細な回答ありがとうございました。

なんか、わかったような、まだわからないような、というのが正直な
ところですが。
部分部分ではわかるんですが、全てを組み合わせて1つの絵が出来上がらないんですよね。
いや、ぼや~っとした絵はあるんですが、輪郭がキリッとしてないというか…

まだまだぼくに、数学力が足りないということですね。精進します。
投稿日時 - 2001-07-05 00:11:35
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  • 回答No.3

こんな公式があったことすら、既に忘却の彼方にいってる事に改めて驚く自分ですが・・・ 質問の意図とは少し外れますが・・ “積分”なる呼称が結構判りづらいのは確かです。これが現実社会でどれだけの必要性が・・と思いきや以外と技術系(設計、開発関連)ではかなりこれを要求されます。 積分の一番(?)出番の多いのは,特にエネルギー計算などに多く使います。 たとえば,身近な物で言えばコンパクトカメラや携 ...続きを読む
こんな公式があったことすら、既に忘却の彼方にいってる事に改めて驚く自分ですが・・・

質問の意図とは少し外れますが・・
“積分”なる呼称が結構判りづらいのは確かです。これが現実社会でどれだけの必要性が・・と思いきや以外と技術系(設計、開発関連)ではかなりこれを要求されます。

積分の一番(?)出番の多いのは,特にエネルギー計算などに多く使います。
たとえば,身近な物で言えばコンパクトカメラや携帯電話などの電池の消耗度合いの計算にこれを使います。フラッシュをたいた瞬間のエネルギー(電気)消耗量,電話が着送信した時のエネルギー消耗量などです。
つまり,横軸に時間軸をとり縦軸にエネルギー値をとり時間変化に伴うエネルギーの変化量の総和が総消耗(ないし単位時間あたり)値になるわけです。これは単純に面積値として算出を行います(最近の計測器などはこの辺が標準的に機能の一部に入っていて計るだけで積分してくれる物も不通です・・かなり,知ったかぶりですが・・・)これを換算して電池の容量を決定していくわけです。

積分は公式で考えるとかなり困惑します。逆にグラフに表れた線分と他の線分の内に出来る面積を計算する為の式であると言う事で理解(それがでけへん!ちゅーのに・・)するしかないのではないでしょうか??(うわー!!いいかげん・・)

・・というわけで,公式の中味も判らず,回答する暴挙をお許し下さい・・
お礼コメント
noname#4530

ありがとふございました。

>積分は公式で考えるとかなり困惑します。逆にグラフに表れた線分と他の線分の内>に出来る面積を計算する為の式であると言う事で理解(それがでけへん!ちゅーの>に・・)するしかないのではないでしょうか??

そうですねぇ…ぼくも、高校まではそれでゴマカシテきました。
しかし、今、大学に入って、電磁気学などの学問を学ぶにあたって、
キッチシ根底から理解してないと、かな~り気持ち悪いんですよ。

しかも、ベクトル解析を教えてくれてる講師の方の講義がわかりにくて×5…
とちゅうで、
「あっ、わからなくなっちゃった。考えてくるので、このつづきは来週ね。」
とか言って、途中で講義を中断する始末。(まあ、中断はまだ1回だけですけど)
そんな訳で、電磁気学がわからん。そもそも積分が厳密にわからん。
というわけで、初心にかえり、高校の教科書をひっぱりだしてきたというワケです。
投稿日時 - 2001-07-04 23:58:35


  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 16% (22/136)

微かに分かるのが「微分」で、積もり積もってわからなくなるのが「積分」です。 (これこれ!) 「無限に細かな短冊にしてその面積を計算し、これを全部加えたものが積分」という 解説もありましたが.. ...続きを読む
微かに分かるのが「微分」で、積もり積もってわからなくなるのが「積分」です。
(これこれ!)

「無限に細かな短冊にしてその面積を計算し、これを全部加えたものが積分」という
解説もありましたが..
お礼コメント
noname#4530

ありがとうございました。
たいへんわかりやすそうなページですね。
ちょっと今忙しいので、あとでじっくし見てみようと思います。
投稿日時 - 2001-07-05 00:17:22
  • 回答No.1
レベル4

ベストアンサー率 0% (0/2)

円の面積を考えてみてはどうでしょうか?
円の面積を考えてみてはどうでしょうか?
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

y = f(x)をaからbまで短冊に切って、その面積を求めてみましょう。 x=xiのときの高さyi=f(xi)、短冊の幅をΔxiとすると、短冊の面積は、 f(xi)Δxi これをaからbまで和を取れば Σf(xi)Δxi となります。短冊の幅を小さくしていくと、 limΣf(xi)Δxi = ∫f(x)dx (aからbの定積分) これが定積分の定義です。 積 ...続きを読む
y = f(x)をaからbまで短冊に切って、その面積を求めてみましょう。

x=xiのときの高さyi=f(xi)、短冊の幅をΔxiとすると、短冊の面積は、

f(xi)Δxi

これをaからbまで和を取れば

Σf(xi)Δxi

となります。短冊の幅を小さくしていくと、

limΣf(xi)Δxi = ∫f(x)dx (aからbの定積分)

これが定積分の定義です。

積分は不定積分から定積分へと教わりますが、定積分から導入した方が分かり易いかもしてません。微積分の教科書にはどれにも書いてありますから、すでにご存知ですネ?分かった積りになるのだ積分でしょうか?、また、∫の記号はSum(和)のSを上下に引き伸ばしたものです。これであなたが納得させる自信ありませんm(._.)m
補足コメント
noname#4530

回答ありがとふございました。

なるほど、、、

>limΣf(xi)Δxi = ∫f(x)dx (aからbの定積分)

これは定義だったんですか!

では、なぜ、

F(a)-F(b) = limΣf(xi)Δxi が成り立つんですか? (F'(x)=f(x))

つまり、なぜ、F(a)-F(b) という計算で面積がでてくるんですか?
これがフシギで×6仕方ないんですよ。
どうか、よろしくお願いします。
投稿日時 - 2001-07-04 22:26:25
  • 回答No.5
レベル11

ベストアンサー率 38% (130/334)

私も高校のとき悩んだ問題です。 これは大学のはじめの頃に「微積分学の基本定理」 として出てくるので、そこで厳密に証明されます。 直感的に説明してみます。正確さは犠牲にしますので その点ご理解ください。 関数f(x)があるとします。 次にこの関数の原点からxまでの(グラフ上の)面積を 表す関数をF(x)と置いてしまいます。 次に、非常に近い2点 x1, x2 を考えます。 x2 ...続きを読む
私も高校のとき悩んだ問題です。
これは大学のはじめの頃に「微積分学の基本定理」
として出てくるので、そこで厳密に証明されます。

直感的に説明してみます。正確さは犠牲にしますので
その点ご理解ください。

関数f(x)があるとします。
次にこの関数の原点からxまでの(グラフ上の)面積を
表す関数をF(x)と置いてしまいます。

次に、非常に近い2点 x1, x2 を考えます。
x2-x1=Δx とします。

(F(x2)-F(x1))/Δx ---(1)
を考えてみましょう。
分子は例の「短冊」1つにあたりますので
f(x2)Δxです。よって

式(1)=f(x2)Δx/Δx
=f(x2) ---(2)

(1)と(2)を見てください。
Δxをゼロに限りなく近づければ、
F(x)の微分がf(x)になってることが分かります。

以上でf(x)の面積を表す関数が、実は積分だったと
証明できました。
お礼コメント
noname#4530

回答ありがとふございました。

はじめ、おぉ、と思ったのですが、ところどころダウトかもっぽいトコを
発見したので、報告いれときます。


>(F(x2)-F(x1))/Δx ---(1)
>を考えてみましょう。
>分子は例の「短冊」1つにあたりますので

とありますが、これって、「短冊」ではないのではないでしょうか?(短冊って、
長方形のコトですよね?)
また、
(F(x2)-F(x1))/Δx は、Δx→0とすると、F'(x1)になるので、
(2)とつじつまが合わないのではないでしょうか?
投稿日時 - 2001-07-04 23:12:04
  • 回答No.8
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

No.4のbrogieです。 >F(a)-F(b) = limΣf(xi)Δxi が成り立つんですか? (F'(x)=f(x)) >つまり、なぜ、F(a)-F(b) という計算で面積がでてくるんですか? >これがフシギで×6仕方ないんですよ。 >どうか、よろしくお願いします。 この疑問については、すでに、後続の方々が詳しく回答されているようです ...続きを読む
No.4のbrogieです。

>F(a)-F(b) = limΣf(xi)Δxi が成り立つんですか? (F'(x)=f(x))

>つまり、なぜ、F(a)-F(b) という計算で面積がでてくるんですか?
>これがフシギで×6仕方ないんですよ。
>どうか、よろしくお願いします。

この疑問については、すでに、後続の方々が詳しく回答されているようです。また、rei00さん紹介のサイトにもあるようですので、そちらを参照してください。

そちらを読んでも納得されなければ、小生も説得する自信はありません。後はあなた自身でお考え下さい。こんな回答で申し訳ありませんm(._.)m
お礼コメント
noname#4530

そろそろ夏休み。ヒマもタップリあるトキが近い、といふことで、
紹介されたページをじっくし読んでみたいと思います。

それでは、ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-07-07 12:47:53
  • 回答No.6
レベル14

ベストアンサー率 50% (1133/2260)

「これは,定積分の定義が・・・・」といった回答を書こうとしたら,brogie さんに先を越されましたね。 折角ですので,参考ペ-ジを紹介しておきます。「やさしい数学講座」というペ-ジで,積分については「第13章 微分と積分-イントロダクション-」,「第15章 積分って何だろう!?」,「第16章 面積って何だろう!?」あたりを御覧下さい。   ...続きを読む
「これは,定積分の定義が・・・・」といった回答を書こうとしたら,brogie さんに先を越されましたね。

折角ですので,参考ペ-ジを紹介しておきます。「やさしい数学講座」というペ-ジで,積分については「第13章 微分と積分-イントロダクション-」,「第15章 積分って何だろう!?」,「第16章 面積って何だろう!?」あたりを御覧下さい。

 
お礼コメント
noname#4530

アドバイスありがとふございました。

紹介してくださったページ、ちょっと覗いてみたんですが、
とても解りやすそうですね。概念を重んじているような印象で、教科書とは
一味違いますね。

こんどユックリとタンノウしようと思います。
投稿日時 - 2001-07-04 22:42:13
  • 回答No.9
レベル11

ベストアンサー率 38% (130/334)

以前の回答(#5)に補足です。 >ところどころダウトかもっぽいトコを >発見したので、報告いれときます。 そのとーりです。 そこが、正確さを犠牲にしたところです。 実は最終的にはこれでいいのです。 補足説明をしておきます。 まず、「短冊」についてですが、たしかに 短冊=長方形とF(x2)-F(x1)は完全に一致しません。 でも次のように考えてみてください。 ...続きを読む
以前の回答(#5)に補足です。

>ところどころダウトかもっぽいトコを
>発見したので、報告いれときます。

そのとーりです。
そこが、正確さを犠牲にしたところです。
実は最終的にはこれでいいのです。
補足説明をしておきます。

まず、「短冊」についてですが、たしかに
短冊=長方形とF(x2)-F(x1)は完全に一致しません。

でも次のように考えてみてください。
f(x)のグラフ上に幅Δxの短冊を並べるとします。
短冊の右上の角がf(x)のグラフ線上に来る、と
でもしておきます。
F(x)の定義と同様に、短冊の合計面積を表す関数を
G(x)と置きます。
Δxが小さいほど、G(x)とF(x)の差は少なくなりそう
なのは直感的に分かると思いますが、実はこの差は
Δxを十分小さくすれば、幾らでも少なくできるのです。

従ってΔxを必要なだけ小さく取れば、いくらでも精度の
高い議論をすることができるので、F(x2)-F(x1)を「短冊」
としても構わないのです(もちろん厳密な証明のやり方
は別にあります。)。

次にF'(x1)=f(x2)を証明しただけだ、という指摘。
Δx→0を考えているのですから、つまりx2→x1です。
ということはf(x2)→f(x1)となって、上式の右辺はf(x1)
と同じことです。


少しは納得してもらえたでしょうか。まだ、「あやしい」
と思う場合は、いっそのことε-δ論法できちんと学べは
すっきりすると思いますが(私はそうでした)、遠い
道のりです。
補足コメント
noname#4530

あの後、∫f(x)dx(aからb)が、f(b)の不定積分の一つというところまで
は理解できたんですが、その後がわからずしばらく
考えることを断念していたのですが、
このたび、ヒマができたので、参考書片手にもっぺん考えてみました。
そしたらやっと解ったというコトで,
ポイント発行ついでに、ココに報告をさせていただきます。


d/db{∫f(x)dx(aからb)} = f(b)だから、この両辺をbで積分して、

∫f(x)dx(aからb) = F(b) + C ( F(b)はf(b)の不定積分の一つで、Cは任意定数 )

これよりb = aとして、0 = ∫f(x)dx(aからa) = F(a) + C よって、C = -F(a)

これを2つ目の式に代入して、∫f(x)dx(aからb) = F(b) - F(a)

ここでbを定数とみなせばOK、 ということだったんですね。

7月上旬のときは、

d/db{∫f(x)dx(aからb)} = f(b) という式を実際に紙に書かずに考えていたので

気付けなかったようです。

そんなこんなでやっとスッキリすることができました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-07-31 22:37:42
お礼コメント
noname#4530

なるほど、ようするに、

>(F(x2)-F(x1))/Δx ---(1)
>を考えてみましょう。
>分子は例の「短冊」1つにあたりますので
>f(x2)Δxです。よって
>
>式(1)=f(x2)Δx/Δx
>=f(x2) ---(2)

これらの式は、Δxが非常に小さい世界で考えよう、というコトだったんですね。
納得できました!
まぁ、まだ完璧に、というわけじゃないんですが、、
たとえば、F(定数)が何を意味するのか、とか。

>次にこの関数の原点からxまでの(グラフ上の)面積を
>表す関数をF(x)と置いてしまいます。

とありますが、もしかして、F(a)っていうのは、原点から、に限らず、
どこからかは知らないけど、「どっかからaまでの面積」というコトですか?
それを解りやすくして下さろうとして、”原点から”にしてくれた、ということでしょうか?

何はともあれ、もう少しで夏休みということで、もうちょっと自分なりにベンキョ
してみます。その上で解らないことがあったらまた改めて質問してみようと
思います。

ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-07-07 13:18:26
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