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infの中にsupがあるとき
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Sにパラメータが二つついていて、supとinfは違うパラメータに関するものだからです。たとえばS=S(x,y)=x^2+y^2とします。supはx∈(-1,1)に関するものだと仮定します。そうすると、sup S=1+y^2となります。infはy∈(-1,1)に関するものとします。そうすると、inf(sup S)=1となります。この場合は、infとsupを入れ替えても同じ結論がいえますが、かならずしも順番を変えていいわけではありません。 当然ですが、Sが1パラメータで、supがその1パラメータに関するものならば、sup Sは定数となり、どのようなinfをとっても値は変えないので、sup S=inf(sup S)とはなります。
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お礼
早々にありがとうございました． すごく分かりやすい丁寧な説明で，分からない箇所がその通りに解釈すれば理解可能でした． また，機会があればどうぞよろしくお願いいたします．