複素数について

質問

虚数の存在意義について教えてください

回答No.9

stomachman

質問者のために。
　勿論、質問者の仰る「存在意義」とは「虚数が実在するか、そしてその意義は？」という意味ではなく、「虚数という概念の存在意義」でしょう。

　数学を利用するときには、必ず「現実世界の問題をあるルールに従って数学の世界に写し、そこで出た答を、同じルールで元の現実世界に引き戻す（これを「解釈」と呼ぶこともあります）」ということが必要です。
　「りんごが２つあります。ひとつ食べたら残りは幾つでしょう。」というのを、数学の世界の「2-1」に写し、そして答の1を現実の世界の「りんごひとつ」と解釈する。普通にやっていることですね。
　難しい問題（物理、経済、なんでも）を解くときには、どうやって数学の世界に写すかが最大の難関であり、そのルールさえ見つけてしまえばあとは簡単、ということがしばしばあります。図形の問題（学校の幾何）でもそういうことがあるでしょう？ルールは必ずしも一通りではないのです。
　さて、二次元空間のひとつの点の座標を、「ふたつの実数x,yがある」というルールで数学の世界に写しても、「二つの要素を持つひとつのベクトル(x,y)」として扱っても良いのですが、「z=x+iyというひとつの複素数」というルールで写すこともできる。こうして問題を数学の世界に移すのです。そして、いろいろ計算して出た答が Z=X+iY だったとします。これを今度は「答の位置は(X,Y)である」と解釈して、二次元空間の世界に引き戻してやるのです。
　かくして、「虚数（あるいは複素数）を使うと、数学の世界の中で大変効率よく答を出すことが出来る。また数学自体の仕組みの完全さ（完備化）という意味でも、虚数は不可欠である。」こういうことです。

お礼

どうして2乗してマイナスになる数が必要なのかもやもやしていたですが具体的なイメージとしてとらえられそうです。このよ　うな説明は高校で余りされていないのではないでしょうか。協力してくださったみなさまに厚く御礼申し上げます