代数学の基本定理で

質問

「代数学の基本定理」 複素数を係数とするn次の代数方程式
a0z^n+a1z^(n-1)+a2z^(n-2)+…+an=0, a0≠0　はn個の根を持つ。　の解として教科書には次のようにあります。

十分大きな正の数Rをとると、
|z|＞R で　
|a0z^n|＞|a1z^(n-1)|+…+|an|≧|(a0z^n+a1z^(n-1)+…+an)-a0z^n|　となる。そこでCを|z|=R,　f(z)=a0z^n,
g(z)=a0z^n+a1z^(n-1)+…+an としてルーシェの定理を適用する。そのとき明らかにf(z)はn個の零点をもつので、g(z)もn個の零点をもつことになる。とあります。
疑問点は、なぜ
|a0z^n|＞|a1z^(n-1)|+…+|an|　になるのかという点です。基本的なことなのでしょうが、解りやすく教えて下さい。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

|(a_0)*z^n|-{|(a_1)*z^(n-1)|+…+|an|}を
|z^n|でくくります。

|(a_0)*z^n|-{|(a_1)*z^(n-1)|+…+|an|}=|z|^n(|a_0|-{|(a_1)|*(1/|z|)+…+|(an)|*(1/|z|)^n})

|z|を十分大きく取れば1/|z|はほぼ0になります。
したがって、|(a_1)|*(1/|z|)+…+|(an)|*(1/|z|)^nの値もほぼ0になります。

このとき|a_0|＞|(a_1)|*(1/|z|)+…+|(an)|*(1/|z|)^nとなります。

したがって
|(a_0)*z^n|-{|(a_1)*z^(n-1)|+…+|an|}=|z|^n(|a_0|-{|(a_1)|*(1/|z|)+…+|(an)|*(1/|z|)^n})＞0
となります。

お礼

今晩は。早速のご回答ありがとうございました。
とても解り易く丁寧なご回答に感謝しています。
またの質問の際も宜しくお願いします。

回答No.2

kabaokaba

こんなとこでしょうか

|a1|，|a2|，|an|のうち最大のものをMとおきます
そこで

R= max {(nM)/|a0|,1}

とおきます．|z| > R のとき

|a0z^n|
=|a0| |z| |z|^{n-1}
>|a_0| (nM)/|a_0| |z|^{n-1}
=nM|z|^{n-1}
=M|z|^{n-1} + … +M|z|^{n-1} (n個の和)

Mは |a1|，|a2|，|an| の最大値なので，更に

>= |a1| |z|^{n-1} + |a2| |z|^{n-1}
+ … + |an| |z|^{n-1}

更に |z| > 1 でもあるので
|z|^{n-1} > |z|^{n-2} > … > |z| > 1
となることを考慮すると

> |a1| |z|^{n-1} + |a2| |z|^{n-2} + … + |an|

お礼

今晩は。ご回答ありがとうございます。
素晴らしいご回答非常に勉強になりました。浅学の私としてはNo1様、No2様のご回答共に素晴らしく甲乙付け難く、共に良回答とさせて頂きたい気持ちでいっぱいですが、それもままならず、あえて先着順とさせて頂きます。
お二人様、素晴らしいご回答本当にありがとうございました。また宜しくお願いいたします。