• 締切済み

ポアソン方程式の解き方について。

真空中において球に電荷が一様に分布している場合の球内外の電場を、ポアソン方程式から電位を求めてそれを微分することによって求めたいのですが、ラプラシアンを含んだ方程式の解き方がわかりません。 どなたかヒントだけでも構いませんので、ご教授お願いいたします。

みんなの回答

回答No.1

方程式∇^2Φ=ρ/εを球座標に変換して、球対称を仮定すれば半径r以外の成分は消えて積分できます。 球の外と内をρ=const<>0とρ=0に分けますが、結局積分定数を決定するためにガウスの定理を使用して、ポアッ損の方程式を解く意味がないかも。 座標系については下記サイト。

参考URL:
http://www.moge.org/okabe/temp/elemag/node58.html
t-t-t-t-t
質問者

お礼

やってみたらなんとなく道筋が見えてきました。早速のご回答本当にありがとうございました!!

関連するQ&A

  • ポアソン方程式

    ポアソン方程式 ポアソン方程式は、物理学上で「場」に関係する基礎式。 静電場や重力場などの物理的なベクトル場のポテンシャルを表す。 と認識しています(テキストそのままですが・・・)。 ポアソン方程式は、ラプラシアンを使って表すと Δφ(x, y, z) = f(x, y, z)です。 ナブラ、ラプラシアンについては前回の質問で理解出来ました。 ここで,φ(x, y, z)は未知関数またはスカラー関数と呼ばれています。 f(x, y, z)は導関数と呼ばれています。 なぜ、f(x, y, z)は導関数と呼ばれるのでしょうか? 導関数とは,f(x, y, z)を微分した関数のことではないのでしょうか? ポアソン方程式は、導関数から未知関数(スカラー関数)を求める 事が基本だと記載されていました。 ご回答よろしくお願い致します。

  • あるポアソンの方程式の問題。

    「半径Rの無限に長い円筒の内部に一様な密度ρで分布した電荷による電位を、ポアソンの方程式を解くことによって求めよ。」 という問題があるのですが、解答では中心軸をZ軸として、中心から距離r = √x^2 + y^2の距離の電位Φ(r)を求めているのですが、このときのポアソンの方程式の立て方が分かりません。 元の式は Φxx + Φyy = -ρ/ε だと思うのですが、上記のようにrに置き換えた場合どういう式の変形の方法でrでポアソンの方程式を作るのでしょうか? よろしくお願いします。

  • ポアソンの方程式の問題について。

    「半径Rno無限に長い円筒の内部に一様な密度ρで分布した電荷による電位を、ポアソンの方程式を解くことによって求めよ。ただし、円筒の側面上の点における電位を0とする」 という問題があるのですが、その解答でポアソンの方程式をr=√x^2+√y^2であらわすために変形をしているのですが、 ∇^2Φ(r) = d^2Φ(r)/dr^2 + 1/r・dΦ(r)/dr という変形をしているのですが、右辺の変形(?)の意味が分かりません…。元の式(と私が思っている∇^2Φ(r) = Φxx + Φyy + Φzz)をどう変形したらこうなるのでしょうか? もしくは上記の変形をせずに、解くやり方はないでしょうか…? よろしくお願いします。

  • ラプラス・ポアソン方程式について

    電磁気学における、ラプラス方程式とポアソン方程式の役目(役割)とは一体何なのでしょうか? ※ポアソンは電位を求めるということが何となく分かりました。 ご教授宜しくお願いします。

  • ポアソンの方程式を用いた電位の求め方

    ポアソンの方程式を用いて原点に置かれた単位点電荷による電位を求めるという問題なのですが結果がガウスの法則によって求まる値と異なってしまいました。 一つ前の問題で電位がC/r(Cは定数)と表せることが求められたので、 ポアソンの方程式より ∇^2(C/r)=-ρ(r)/ε 両辺を半径rの円で体積積分すると、ガウスの発散定理より 左辺=∬∇(C/r)・dS =4πr^2/r^2×{∂(cr^2/r)/∂r} (極座標における発散より) =4πc 右辺=-1/ε∬∫ρ(r)dv =-1/ε (原点に単位点電荷があるのみなので) 右辺と左辺を比較することでc=-1/4πεとなり、電位は-1/4πεrとなるのですが、 ガウスの法則によって求めた電場を積分して求められる電位は1/4πεrとなります。(こちらは教科書に載っていたのであっていると思います) どこが間違っているのでしょうか。 基本的な問題ですがご存知の方、よろしくお願いいたします。

  • 点電荷が作る電位分布の求め方

    点電荷が作る電位分布の求め方 お世話になります。 1次元の電位分布についての質問です。 高校の物理で習ったように、1[C]の点電荷(あるいは微小な大きさを持つ電荷)が原点にあるときの電位分布は、無限遠をゼロとして、 φ = (1/(4πε)) * (Q / r) ・・・(1) で表せますよね? 同じ分布をポアソン方程式(div (grad φ) = -ρ/ε)から求めるにはどうすればよいでしょうか。 1次元の場合ポアソン方程式は単純な2階微分方程式になると思いますので、rで2階積分してみたのですが、原点以外ではρ= 0 のため φ が一次関数になってしまい、(1)のような反比例の関係にはなりそうにありません。 どこか考え方が間違ってるのだと思いますのでご指摘いただけると助かります。 よろしくお願い致します。

  • 球殻間の空間の静電位におけるLaplace方程式

    真空中に半径がaおよびbの2同心導体球殻からなるコンデンサーがある。 それぞれの球殻には総量+Q[C]、-Q[C]の電荷が一様に分布している. 球殻間の空間に電荷はないから、球殻間の空間の静電位はLaplace方程式 を充たしている. [1]このような球対称の電荷分布を持つ問題では同心球殻の中心を原点とする 極座標(球座標)系(r,θ,φ)を使ったほうが便利である.Laplace 方程式の球座標系における表式を書け. [2]電位V(r,θ,φ)はγのみの関数であることが分かる.従ってVをθお よびφで微分したものは零になる.このときのLaplace方程式を書け. [3][2]の方程式を解き,V(r)の関数形を求めよ. 未定定数はそのまま 残すこと. [4]V(r)の勾配に(-1)を掛けて位置 r=aにおける静電場を求めよ. 以上の問題について回答を宜しくお願いします.贅沢を言えば[1]以外の問題 についてを特にお願いします.

  • 球殻の電場の運動方程式について

    半径aの球内に正の電荷Qが一様に分布しているとき、球内部及び外部の電場を求めよ。 また、球内部の中心付近に質量m、電荷-q(q>0)の粒子を静かに置いた。この粒子が受ける力を示し、運動方程式をたてよ。次いで、この粒子の運動について考察せよ という問題があるのですが、 球内部の電場 Er = 0 球外部の電場 Er = Q / 4πε0r^2 (ε0は真空中の誘電率) と解けました。運動方程式はどのようになるのでしょうか。また、考察はどのように書けばよいのでしょうか。

  • ポアソン方程式について

    電子系の学部に在籍している学生です。 p型半導体、n型半導体においてのポアソン方程式を 習ったのですが、 釈然としないことがあるので、教えて下さい。 最初の時点で、p型なら、(電位の二階微分)=qNa/εという式 n型なら、(電位の二階微分)=qNd/εという式が有りますよね? 計算を解いていくと、(電位の一階微分)=電界 つまり、単純に考えると(qNd/ε)xが単位面積あたりの電気力線の本数である。 ということですよね? では、qNd/εとは何なのでしょうか。 次元で考えると、クーロン×ドナー密度/εなので C×(1/立方センチメートル)/ε、 やはり密度のようになってしまいそうですが。。 流れで考えると電気力線の密度の増減を示す数字だと思いますが、 やっぱり納得できません。

  • 微分方程式 線形 非線形

    微分方程式における線形と非線形について質問させて頂きます。 線形と非線形では何が違うのでしょうか? 1階線形常微分方程式が線形なのはわかるのですが、2階線形常微分方程式は 2階なのになぜ線形なのでしょうか? また、∇は後ろに関数を持ってきて1階の偏微分という演算を行います。 これは線形なのでしょうか? Δ(ラプラシアン)は後ろに関数をもってきて2階の偏微分という演算を行います。 ラプラス方程式やポアソン方程式も線形なのでしょうか? 線形微分方程式の問題に関していくつか当たったのですが、線形なのか非線形なのか がどのように使い分けられるのかわかりません・・・ 以上、ご回答よろしくお願い致します。