代数学の問題なんですが．．．

質問

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区間[0, 1]において，
１．区間内の適当な所に点（・）を書く．
２．[0, 1]の区間を２等分し，各々の区間に点がはいるような点を１つ書く．
（ただし，１で書いた点はそのままなので，点の無い方の区間に書く）
３．[0, 1]の区間を３等分し，点の無い区間に１つだけ点を書く．
．．．．．
．．．．．
１７．[0, 1]の区間を１７等分し，点の無い区間に１つだけ点を書く．

（例）
| . | . |
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0

↓↓↓↓↓↓↓↓（２等分から３等分）

| . | . | . |
0.0 0.25 0.52 0.75 1.0

上の様なことを区間が１７等分まで繰り返して下さい．
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以上のようにして，区間を１７等分までしたときに適当な点の値を答えろ
という問題がありました，どうしても分からなかったのでだれか，解答
できる人がいましたら，是非値を教えて欲しいのですが．
また，条件がもう１つありまして，区間の境界上には点は書いてはいけない
ようになっています．

詳しい解説なんかも書いてもらえるとともてもありがたいです．
宜しくお願いします．

回答No.8

stomachman

今度は、
一番要素の数が少ない、c(1)=4　で始まる解の集合の構造を調べてみましたよ。
●分類
・定数なのは
c(1)=4
c(8)=13
c(9)=60
c(12)=20
c(13)=48
c(15)=1
ここまでは選択の余地なしです。
・以下の番号は任意に選ぶことができます。
c(11)∈{75,76}
c(16)∈{64,65}
c(10)∈{33,34}
c(14)∈{87,88,89,90,91,92,96}
c(5)∈{26,69}
・以下は他の番号の影響を受けます。
c(17)∈ if c(10)=34 then {29,30,31,32,33} else {34,35,36,37,38,39}
c(7)∈if c(14)=96 then {92,83} else {96,83}
c(6)=if c(5)=26 then 52 else 41
　　さらに以下のものは他にも整理の仕方があると思いますが、
c(3)∈if c(5)=26 then {41} else
　　　　　(if c(14)=96 then {83,52,92} else {83,52,96})
c(4)∈if c(5)=69 then {26} else
　　　　　(if c(14)=96 then {83,69,92} else {83,69,96})
c(2)∈if (c(3)=52 or c(4)=69) then
　　　　　(if c(14)=96 then {83,92} else {83,96})
　　　else
　　　　　(ifc(5)=69 then {52} else {69})
以上です。

●ところで、
c(11)∈{75,76}
c(16)∈{64,65}
c(14)∈{87,88,89,90,91,92}∪{96}
c(17)∈ if c(10)=34 then {29,30,31,32,33} else {34,35,36,37,38,39}
これら、引き続いた値の部分は、要するに区別する必要がない一つの連続した区間と考えることができます。
つまり
c(11)=(75～76)
c(16)=(64～65)
c(14)∈{(87～92), 96}
c(17)∈ if c(10)=34 then (29～33) else (34～39)
という風に考えて良い。ですから特に、c(11),c(16)は実質的には定数と同じです。
　かくて、定数（および、c(11),c(16)）と、
・c(2),c(3),c(4),c(5),c(6)の４通りのパターン
a) 69 41 ** 26 52
b) ** 41 69 26 52
c) 52 ** 26 69 41
d) ** 52 26 69 41
およびc(7)とc(17)の選択パターン４通り、これらの掛け算で、実質16通りということですね。
そのどれかに、任意に選べる他の番号の選択を組み合わせることで、全ての解が構成されます。

さて、これは一体何を意味しているのでしょう？
群だの環だの、代数構造がおでましになる予兆でしょうか？