線形代数の基底と標準形についての質問です
- Ｒ＾２とＲ＾３の基底に関する表現行列Ａの求め方について教えてください。
- 基本変形を用いて行列Ａの標準形を求める方法について教えてください。
- 行列Ａの表現行列が標準形となるような基底の求め方について教えてください。
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線形代数についての質問です。お願いします。
（２）が解答の仕方がわかりません。（３）はどう解答にもっていけばいいのか分かりません。 できれば解答と解説をお願いします。 やってもらえるととても助かりいます。 （１） Ｒ＾２の基底 ＜u_1=転置（1,3） u_2=転置（2,5）＞ Ｒ＾３の基底 ＜ｖ_1=転置（1,0,-1） v_2=転置（0,1,2） ｖ_3=転置（-1,2,2）＞ に関する表現行列Ａを求めよ。 （２） 上で求めた行列Ａに対して基本変形を行うことで、その標準形を求めよ。 （基本変形を明記する必要はないが、そのようになる理由は述べよ） だだし、行列の標準形とは、一般に （Ｅ ０）の形の行列のことである。 ０ ０ ここで、Ｅは単位行列、０はゼロ行列を表す。 ランク標準形ともいう。 （３） ｆの表現行列が標準形となるように、Ｒ＾２、Ｒ＾３の各々の基底を一組求めよ。 以上の問いをお願いします。
- 竹本 優樹菜（@GEN0402）
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(3) の答えの見つけ方： (2) を解いたときに、A をランク標準形へ変換する基本変形を見つけたでしょう？ 基本変形は、基本行列で表されますね。A をランク標準形 B へ変形するのに 行基本変形 C1, C2, …、Cm と列基本変形 R1, R2, …, Rn を施したとすると、 B = Cm Cm-1 Cm-2 … C1 A R1 R2 … Rn です。これを B = P A Q と書いて、 P, Q を基底変換の変換行列とみなすと、f が B と表現されるような基底は、 基底 { u_? }, { v_? } の下で { P の列ベクトル }, { Q^-1 の列ベクトル } と成分表示されます。{ u_? }, { v_? } の標準基底での成分表示を考慮して、 これらを標準基底での成分表示に書き直せば完了。
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お礼
返信遅れてすみません。（後期試験に追われてパソコン開く時間がなかったので・・・） アドバイスありがとうごさいます。 なんとなくイメージはついてきたと思います。 でも、解答が手元にないため正解がわかりません。 もし、面倒でなければ一度問題を解いて答えを教えてもらえると助かります。 わがまま言ってすみません。