解析２

質問

前回（http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1726532）で質問して締め切ったのですが、どうしても納得いかない点が浮上したので、再度投稿させていただきました。

「(2)⇒(1)：Δ1とΔ2を合わせた分割をΔ（ΔはΔ1とΔ2
の両方の細分）として（必要ならさらに細分して）
|Δ|<δを満たすようにすると，
　　S-s = (S-SΔ)+(SΔ-sΔ)+(sΔ-s)
とみることにより，三角不等式を用いて
　　|S-s|≦|S-SΔ|+|SΔ-sΔ|+|sΔ-s|<3ε」

｜S-s|≦|S-SΔ|+|SΔ-sΔ|+|sΔ-s|<3εの部分から何故、S=sが出るのでしょうか？
また、３εはどうして出るのですか？

回答No.1

peaceanimals · ベストアンサー

ΔはΔ1とΔ2を合わせた分割ですから,
|Δ|≦|Δ1|,|Δ|≦|Δ2|
が言えますよね。つまり,
|S-SΔ|<ε,|s-sΔ|<ε
となります。大丈夫かな・・・？

「前提」の,『任意のε>0に対して,|S-S(Δ1)|<εを満たす分割Δ1が存在する』
というのはいいですよね？Δ1をさらに分割してそれをΔとするなら,
上方和SΔはS(Δ1)以下になりますよね?上方和は細かく分割した方が
小さくなるわけですから。だから,
SΔ≦S(Δ1) ⇔ SΔ-S≦S(Δ1)-S
　　　　　　⇔ |S-SΔ|≦|S-S(Δ1)|
つまり,|S-SΔ|<εが言えるわけです。
下方和に関しては,sΔはs(Δ2)以上になるので
sΔ≧s(Δ2) ⇔ sΔ-s≧s(Δ2)-s
　　　　　　⇔ |s-sΔ|≦|s-s(Δ2)|
　　　　　　⇔ |sΔ-s|≦|s(Δ2)-s|
つまり,|sΔ-s|<εが言えます。
|SΔ-sΔ|<εについては問いの仮定より明らかです。

以上より
|S-SΔ|+|SΔ-sΔ|+|sΔ-s|<3ε
となります。

|S-s|<3εからS=sとなるのは収束の定義そのままだと思いますが。。。
任意のε>0に対して|S-s|<3εとなる分割Δが存在するcつまりS→sです。
3εが気になるのでしたら,最初にεをとるときに|S-S(Δ1)|,|s-s(Δ2)|,|SΔ-sΔ|
をε/3より小さくなるようにすればスッキリした形になるはずです。

お礼

謎が解けました。
ありがとうございました。