整数問題が解けません

質問

a^b=b^a+7 を満たすすべての整数a,bを求めよ。

という問題を友達から出されたのですが、
どう解けばいいのでしょう。
お教えください。

私は高校レベルの数学しかわかりません。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

高校レベルであればすべて求めることが出来ると思います。

まずa≦-2の場合を考えます。
もしbが-1,0,1でないならば、b^aは整数ではありません。特に絶対値1未満。
したがってb>1なら左辺は整数、右辺は非整数なので成り立ちませんし、
b<-1なら左辺の絶対値も1未満でやはり成り立ちません。
まずb=0もありえませんから、残る候補はb=±1のときだけです。
b=1ならばa=1+7で、今は除外していますが、解a=8、b=1を得ます。
b=-1ならば1/a=(-1)^a+7で、これをみたすaは存在しません。
結局a≦-2なる解は存在しません。
次にa=-1の場合は(-1)^b=1/b+7であり、これを満たすbは存在しません。
またa=0の場合も無理です。

以上よりa>0のみを考えればよいことが分かりました。
まずa=1の場合は、b=-6が解を与えます。
次にa=2の場合は2^b=b^2+7ですが、b≦0ではありえないので、b>0です。
この場合はb=5が解を与えますが、これ以外の解は存在しません。
というのは、b≧5においては、((b+1)^2+7)/b^2=1+2/b+8/b^2<2なので、
右辺は2倍も増えないですが、左辺は2倍ずつ大きくなるからです。

さてa≧3以上の場合を考えます。この場合も簡単な考察で
b≦0ではありえないので、b>0です。
まずb=1の場合を考えると、最初に既に求めましたが、解a=8、b=1を得ます。
次にb=2の場合ですが、この場合はa=2のときの考察を参考にして、
a≧5ならばa^2<2^aでした、したがって、a=3,4ぐらいしか希望はありませんが、
それらはともに不可能です。したがってb≧3であることも分かります。

以下、a≧3、b≧3の場合を調べればよいことが分かりました。
a^bとb^aの大小関係を調べて見ます。そのために両辺のab乗根を取ると、
a^(1/a)、b^(1/b)になります。x^(1/x)なる関数はx=eで極大になります。
たとえばy=x^(1/x)でlog y=1/x log xなので、両辺微分して、
y'/y=-1/x^2 log x + 1/x^2=(1-log x)/x^2です。
したがって導関数が負になるのはx>eのときだから、x=eで極大です。
つまりx≧eではy=x^(1/x)は単調減少であり、a,b≧3>eなのだから、
a^b > b^a⇔ a^(1/a) > b^(1/b) ⇔ a < b
です。右辺に+7があることを考慮して、3≦a<bの場合について
考えればよいことが分かりました。

さてここでb=a+kとおいてみると、a^(a+k)=(a+k)^a+7です。
そこで両辺をa^aで割ってみると、a^k=(1+k/a)^a+7/a^aとなります。
(1+k/a)^aはaを大きくしていくと単調にe^kに収束するので、
特に(1+k/a)^a<e^kです。7/a^a<1は絶対ですから、
a^k<e^k+1を満たすようなa≧3とk≧1を見つけることになります。
a≧4ならば、a>e+1ですから、k=1でそもそも成り立ちません。
さらにkが大きいと左辺の方が早く大きくなりますので、a≧4は不可能です。
よってa=3の場合のみ考えればよいですが、e=2.71…だから、
たとえばe<2.8と思っても、e^2<2.8^2=7.84であり、
3^2>8.84>e^2+1です。したがってk≧2ではありえません。
結局a=3、k=1すなわちb=4ぐらいしか無理ですが、
このときも3^4=81、4^3+7=71で成り立ちません。

以上から可能なものはa=1、b=-6かa=2、b=5かa=8、b=1の3つです。

お礼

すばらしい解答をありがとうございました！！

回答No.1

springside

ちょっと見たところ難しそうですね。

　2^5 = 5^2 +7

なので、a=2,b=5が解の１つですが、それですべてかどうかわかりません。

お礼

ご回答ありがとうございました。