統計学の問題について教えてください。

質問

統計学を独学で学んでいるのですが、コンセプトの所でつまずいています。
大学で統計学を学んだ方や、統計に詳しい方、教えてください。

｛問題１｝
変数の対（Ｘ，Ｙ）ならびに（Ｙ，Ｚ）の両者に有意な相関が観測される場合、（Ｘ，Ｚ）に関しては何が言えるか。以下の中から最も適当であると思われるものを選べ。

Ａ、有意な相関がある。Ｂ、有意な相関はない。
Ｃ、どちらともいえない。

（私の答え）C、（X,Y）,（Y,Z）に相関があっても、（X,Z）に相関があることは分からないと思う。

｛問題２｝
ある無限母集団から1000個のサンプルを無作為に抽出しヒストグラムを描くと、かなり左裾が長い分布となった。その後、2000個のランダムサンプルを追加してもう一度ヒストグラムを描いた場合、その分布の形状はどうなると考えられるか。以下の中から最も可能性が高いと思われるものを選べ。
Ａ、左右対称に近づく。Ｂ、右裾が長い分布となる。
Ｃ、左裾が長い分布となる。

（私の答え・疑問点）Nが増えるにつれてヒストグラムは左右対称に近づくと思う。しかしこの場合、無限母集団とランダムサンプリングとの違いが不明である。

｛問題３｝
Ａ大学の男子学生と女子学生の身長は、それぞれ正規分布をし、男性の平均は170cm、標準偏差は10cm、女性の平均は156cm、標準偏差は9.8cmであると仮定する。この大学の男子学生一人と女子学生一人をランダムに選んだ場合、選ばれた男子学生の身長が女子学生の身長より高い確率はおよそいくつか。以下の中から最も適当であると思われるものを選べ。なお、いかにPrで示した標準正規分布の下側確立を参考にせよ。

Pr（Z＜0.7）=0.76　Pr（Z＜1.0）=0.84　
Pr（Z＜1.3）=0.90　Pr（Z＜1.4）=0.92

A、0.76　B、0.84　C、0.90　D、0.92

（私の疑問点）それぞれSDが分かっているが、生徒が何人いるのか分からないのでどう計算するのか分からない。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

｛問題１｝
たとえば、ＸとＺが独立な正規分布で、Ｙ＝Ｘ＋Ｚである場合を考えると、相関係数は
ＸとＺ　０
ＸとＹ　1/√2
ＹとＺ　1/√2
となるから、ご質問の通りだと思います。

｛問題２｝
「1000個のサンプルを無作為に抽出しヒストグラムを描く」という行為を３回やって、そのヒストグラム（３つとも、たぶん同じようなものになるでしょう）を足し合わせたものと考えれば、答は明らかです。

｛問題３｝
独立な正規分布の和・差は、また正規分布になります。

平均e1, 標準偏差s1の正規分布Ｘと、平均e2, 標準偏差s2の正規分布Ｙ（ＸとＹは独立）があるとき、
Ｘ±Ｙは、平均e1±e2, 標準偏差　√（e1^2 + e2^2) の正規分布になります（ルートの中が±でないことに注意。正規分布は左右をひっくり返しても標準偏差は同じです。）

回答No.2

shkwta

No.1 訂正します。
（誤）標準偏差　√（e1^2 + e2^2)
（正）標準偏差　√（s1^2 + s2^2)