統計の問題の解説をおねがいします

質問

統計の問題ですが解説がなく詰まってしまいました。
わかる方教えて下さい。よろしくお願いします。

1,ある大学の男子学生と女子学生の身長はそれぞれ正規分布をし、男性の平均は175cm、標準偏差は10cm、女性の平均は161cm、標準偏差は9.8 cmであるという。この大学の男子学生一人と女子学生一人をランダムに選んだ場合、選ばれた男子学生の身長が女子学生の身長より高い確率はおよそいくつか。その確率を記せ。ただし、標準正規分布に関しては表を利用すること。(答えは0,84)

2,確率変数Xは自由度5のt分布をし、確率変数Yは標準正規分布をするとする。このとき、XやYがある定数zを越える確率に関して、z>0の場合に限りP(X>z)>P(Y>z)であることを示せ。

回答No.2

fluidicB

すみません。久しぶりにみたら追加質問でしたね。

＞おそらく推定量（X－Y）/√((σx^2/m)+(σy^2/n))を使って14/√196となるのでしょうがこれだと1になってしまい-1にはならないです。

ここ、微妙に勘違いが入っているかも、です。

私の説明でＺと言っているのも、それを標準化したものも、
質問者様のおっしゃる推定量とは別な値になることはわかりますか？

「男性の身長から女性の身長を引いた値」の確率変数は、正規分布に従いますが、
標準正規分布ではなく、中心が横軸＝０分散だけについてのところにないですよね。もっと右側にずれてます。
そして、この正規分布のグラフで横軸＝０のところより右側の面積、が今回の答えです。

標準化というのは、平均を０にずらしてから、分散が１になるように横方向に拡大縮小する操作です。
質問者様のおっしゃる推定量は、私がいうＺを、標準化操作のうちの分散が１になるように割り算するだけの操作を行った値です。

そこで、
＞」これだと1になってしまい
なのは、その分布の中心が横軸＝１のところにあるよ、って話。

今どきの賢いスマホアプリや、そんじょそこらのExcel程度の統計ソフトは標準化しなくても確率を求めてくれたりしますが、
早見表で見たいなら標準化必須ですよね。平均値で引く操作も忘れずに。

さて、早見表で見るときのしきい値はどうなるでしょう。
今回の境目は、男性と女性の身長が一致するところ。
私のＺや質問者様の推定量が０になるところです。
で、標準化するとそのしきい値がずれます。
もとのしきい値である０から平均の１４を引いて標準偏差の１４で割った値です。
それが-1になります。

なので早見表で見るときは標準正規分布で横軸-1より大きい確率を求めるように、早見表に応じて注意して値を求めてくれれば
それで答えに行き着くわけです。

お礼

遅くなりましたが了解しました。
ありがとうございました。

回答No.1

fluidicB

１だけご説明します。

ランダムに選ばれる男女の身長をそれぞれX cm, Y cmという確率変数で置くと、
X-Y>0の確率が求める確率。
ランダムだといっているのだから、XとYは独立です。
独立な確率変数の和ってのを習ったなぁとか、
正規分布の和は正規分布ってあたりを同時に思い出せれば、
あとはたいてい答えにたどり着けそうなところ。
Z=X-Y
とおくと、E[Z]=E[X]-E[Y]が成り立ち、
独立なX, Yに対してはV[Z]=V[X]+V[Y]が成り立ちます。
（V[X]を分散の記号として使っています。別の文字で習った可能性大）

習ったときはZ=X+Yに対して、E[Z]=E[X]+E[Y]、V[Z]=V[X]+V[Y]だったと思います。
これが差になると、期待値の方だけ引き算に切り替わって、
平方和を議論する分散では足し算のままだというところに注意してください。
おやっ？っと思ったら、期待値や分散の積分形式の定義式を眺めてみて、
確率変数にマイナス１をかけるとどうなるか考えて見てください。
前者はくくり出せて、後者は２乗で消えるでしょ。

今回のケースでいえば平均は175-161=14、
標準偏差は（問題に与えられている数字が分散でなく標準偏差であることに注意！）
10^2+9.8^2の平方根で、196.04の平方根なので、だいたい14ですね。
というわけでZは平均14、分散196.04の正規分布に従います。
なのでZ>0である確率は標準化して考えると、
平均値の14で引いて標準偏差の14で割って考えると、
標準正規分布で-1より大きい確率を求めるって意味だ。
標準正規分布表で横軸が1になるところの値を読み取って、
表がそのしきい値の右側を表しているのか、
左側を表しているのか注意しながら読み取ってみると、
その面積（というか確率は良くある4桁の早見表で0.8413。
ざっくりしたところを答えると0.84ってことです。

補足

＞なのでZ>0である確率は標準化して考えると、
＞平均値の14で引いて標準偏差の14で割って考えると、
＞標準正規分布で-1より大きい確率を求めるって意味だ。

このへんで引っかかりました
おそらく推定量（X－Y）/√((σx^2/m)+(σy^2/n))を使って14/√196となるのでしょうがこれだと1になってしまい-1にはならないです。
男性の身長の方が高い確率が大きいので問題設定からも0,84で正しいと思うのですが…