ハミルトニアンのユニタリー変換

質問

原子核が原点に位置する，電子数 Z 個の原子と，光との相互作用を表すハミルトニアンを考えているのですが，ミニマル結合ハミルトニアンのユニタリー変換の過程が良く分かりません．教えていただけないでしょうか？

ミニマル結合ハミルトニアンを

　　　H' = (1/2m) Σ_{j} { p_{j}+ e A (r_{j}) }^{2}
　　　　　+ (1/2) ∫σ(r) φ(r) dr
　　　　　+ (1/2) (εE^{2} + (1/μ)B^{2})

とします．ややこしい式ですが，右辺第 1 項にだけ注目するので，説明は控えさせて下さい．

　このハミルトニアンに対し

　　　U = exp {- (ie/h~) Σ_{j} ∫_{0}^{1} r_{j}・A (λ r_{j}) dλ}
　　　　= exp {- (ie/h~) Σ_{j} B (r_{j})}

なるユニタリー演算子を用いて H = U^{-1} H' U というユニタリー変換を考えます．
　ただし，h~ = h/2π であり，また ∫ の積分範囲は 0 から 1 まで．また r_{j} は電子の座標です．A (r) はベクトルポテンシャル演算子です．B は，A の積分表記が複雑なので置き換えただけの演算子です．また p_{j} = p = - ih~ ∇_{j} は運動量演算子です．

　H' の右辺第一項に対しユニタリー変換を行うと

　　　U~{-1} { p + e A (r_{j}) } U = p - e ∇_{j} B + e A (r_{j})

となるらしいのですが，なぜこうなるのかが分かりません．具体的には，U^{-1} e A U = e A となるのは分かるのですが，U^{-1} p U = p - e ∇ B となるのが，なぜだか分かりません．

　どなたか，ご教授いただけないでしょうか？

回答No.1

spinflip · ベストアンサー

相互作用表示ですね、お疲れさまです。
pは微分演算子で、Uは座標を含んでますから、
pU=Up＋(pU)
となります。(pU)のカッコの意味はpはUにのみ
作用して、さらに右からかかってくる波動関数
には作用させない、ということです。

右辺第一項目のUpは、左からかかるU^{-1}で、
pだけになります。

右辺第二項目の(pU)は、
＝(-ih~∇)exp{-(ie/h~)Σ_{j}B(r_{j})}
ですが、微分演算子の変数をr_{j}とすれば、
＝(-ih~)exp{-(ie/h~)Σ_{j}B(r_{j})}
　・{-(ie/h~)・∇B｝
＝U・{-e∇B}
となりますがいかがでしょうか。

補足

丁寧に説明して下さり，ありがとうございます．

実は，前提条件である

　　　pU = Up + (pU)

という関係が，どうして成立するのか理解できていません．式を変形すると [p, U] = (pU) なる交換関係が成り立つような気がしますが，何か関係があるでしょうか？　定理だとすれば，何という名前の定理でしょうか？

　分かりやすく説明してくださったので，この前提条件さえ理解できれば，後の部分は理解できました．差し支えなければ，前提条件の式について，御説明いただけないでしょうか？

　よろしくお願いします．

回答No.2

spinflip

二つの演算子の積であるpUがどんな演算子になるか、
という問題に帰着したですね。確かに私もこんがら
がったような気がします。
A≡pU　とおくと、Aの定義は、任意の波動関数φに対して、Aφ＝pUφ が成り立つということですよね。
結合則から、pUφ＝p(Uφ)なので、pが微分演算子である
ことを思い出すと、＝U'φ＋Uφ'
となります。『'』を再び、pで書き直してやれば、
＝(pU)φ＋Upφ＝{(pU)+Up}φ
となって求める式が得られます。

つまり、pが微分演算子であることがエッセンスのようですね。(たとえば、pが、よく群論やBlochの定理の証明で出てくる、座標並進演算子だったりすると、前提条件は成り立ちません)。

お礼

演算子に注目するのは誤りで，常に波動関数 φ が隠れていることを意識しないといけないのですね．

分かりやすく教えてくださり，本当にありがとうございました．