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これはなぜ楕円なんですか?
x^2+xy+y^2-1=0 これはなぜ楕円になるんですか? (x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1の形にならないんですけど、なぜ楕円なんですか?
- yusuke5112
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>なぜこの形(x^2+xy+y^2-1=0)を見て45°回転していると分かるんでしょ>うか? 元の式がx,yの対称式、つまりxとyを入れ替えたときもとの式と同じ式になること。 これはx軸とy軸を入れ替えても同じグラフになる、ということ。つまり直線y=xについて対称であることを示しています。なので1次変換を用いて45°回転させてみればいいとわかります。 なお1次変換についてはたとえば http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html あたりを参照のこと。
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- Landolt
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今までに指摘があった通りに座標変換すると、 元の図形を(反時計回りに)45°(π/2)回転させたものになります。 変換後の式を見ると楕円であることがわかるでしょう。 ちなみにこの楕円は、元の座標でいうと、 (-1,1)と(1,-1)を結ぶ線分を長軸、 (1/√3,1/√3)と(-1/√3,-1/√3)を結ぶ線分を短軸とする、 横長の楕円を(時計回りに)45°(π/2)回転させたものです。
お礼
すいません。皆さんのを読んで、ずっと考えているんですけど、まだ理解できません(T_T) なぜこの形(x^2+xy+y^2-1=0)を見て45°回転していると分かるんでしょうか?
- sggk
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45度回転してみればよいのではないでしょうか。 45度回転した後の座標を(X,Y)とおけば、元の座標(x,y)は以下のように表されます。 x=Xcosα-Ysinα y=Xsinα+Ycosα ※α=45度 これらを元の式に代入すると x^2+xy+y^2-1 =X^2+Y^2-2XYsinαcosα+X^2sinαcosα-Y^2sinαcosα+XY(cos^2α-sin^2α)+X^2+Y^2+2XYsinαcosα-1 =(5/2)X^2+(3/2)Y^2-1=0 となり、楕円の式になります。
お礼
>45度回転した後の座標を(X,Y)とおけば、元の座標(x,y)は以下のように表されます。 x=Xcosα-Ysinα y=Xsinα+Ycosα ※α=45度 なぜこのようになるのか、まだ理解できないでいます。 この(X,Y)と(x,y)は、同じx軸y軸を基準にした座標ですよね??
済みません、肝心なことを書き忘れました。 sqrt(2)はルート2です。
お礼
回答ありがとうございます。今頑張って理解しようとしてるんですが、よく分かりません(T_T)
x = (1/sqrt(2)) (X - Y) y = (1/sqrt(2)) (X + Y) と置いてみてください。 そうすれば(X, Y)について、楕円の式になります。 この変換は座標を回転しています。
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お礼
すっきりしました!回答ありがとうございました。とても分かりやすかったです。