平均値の定理

質問

０＜ａ＜ｂ　とする。　ｆ（ｘ）＝１/ｘ　に平均値の定理を適用することにより
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝（ｂ－ａ）ｆ'(a＋θ（ｂ－ａ）
　、０＜θ＜１　を満たすθが存在する。
（１）θをａとｂで表せ
（２）ｌｉｍ　θ　を求めよ
　　　ｂ－＞ａ

どのように回答していけば良いのでしょうか、教えて下さい。

回答No.2

postro · ベストアンサー

Ｎｏ．１さんの書かれたとおりですが、めちゃめちゃ親切に書くと、
ｆ（ｘ）＝１/ｘ　より　ｆ'（ｘ）＝-１/ｘ^2
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝（ｂ－ａ）ｆ'(a＋θ（ｂ－ａ）) に対してｆ（ｘ）＝１/ｘ　ｆ'（ｘ）＝-１/ｘ^2　を適用すると
1/b-1/a=(b-a){-1/(a+θ(b-a))^2}
(a-b)/ab=(a-b)/(a+θ(b-a))^2
ab=(a+θ(b-a))^2
√ab=a+θ(b-a)　　　（０＜ａ＜ｂ　、０＜θ＜１）
θ={(√ab)-a}/(b-a)

θ={(√ab)-a}/(b-a)={(√ab)-a}{(√ab)+a}/(b-a){(√ab)+a}=a(b-a)/(b-a){(√ab)+a}=a/{(√ab)+a}
b→a のとき
θ→a/{(√a^2)+a}=a/2a=1/2

お礼

非常に分かりやすい回答ありがとうございました。

回答No.1

bilateraria165

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝（ｂ－ａ）ｆ'(a＋θ（ｂ－ａ）
この式にｆ（ｘ）＝１/ｘを作用させるだけで（１）は解けます。aやbを代入して整理してみてください。
（２）は（１）の結果のうちbをaに近づける極限をとればよいかと。

お礼

ありがとうございました。