ロピタルの定理

質問

[定理]
ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)が開区間(ａ,ｂ)で微分可能で、

　lim_{x→a+0}ｆ(ｘ)＝０、　lim_{x→a+0}ｇ(ｘ)＝０、　ｇ'(ｘ)≠０

のとき、lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝が存在すれば、

　lim_{x→a+0}｛ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ)｝＝lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝

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(proof)

ｆ(ａ),ｇ(ａ)が定義されていて、ｆ(ａ)＝０,ｇ(ａ)＝０ならば、ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)は[ａ,ｂ)で連続である。
そういう場合は、新しくｆ(ａ)＝０,ｇ(ａ)＝０と定義すれば、ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)は[ａ,ｂ)で連続となる。
こうしておいて、(ａ,ｂ)のｘをとれば、ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)は[ａ,ｘ)で連続、(ａ,ｘ)で微分可能、かつ(ａ,ｘ)でｇ'(ｘ)≠０だから、コーシーの平均値の定理より、

　ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ) ＝ {ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)}/{ｇ(ｘ)－ｇ(ａ)} ＝ ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)　　(ａ＜ｃ＜ｂ)

のｃが存在し、ｘ→a+0 ならばｃも ｃ→a+0 となるから、

　lim_{x→a+0}｛ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ)｝＝lim_{c→a+0}｛ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)｝

lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝の存在は仮定から保証されているので、
　lim_{c→a+0}｛ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)｝＝ lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(q.e.d)

このように、ある参考書に定理の証明があったのですが、この証明で、
　"lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝が存在すれば"
という仮定はなぜ必要なのでしょうか？
簡単なことかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

xyz0122さん、こんにちは。

> 　"lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝が存在すれば"
> という仮定はなぜ必要なのでしょうか？

何しろ証明したい式が、
　lim_{x→a+0}｛ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ)｝＝lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝
なのですから、右辺が存在しないときには、成立たないからです。

つまり、もしその仮定がないと、f(x)/g(x) = f'(c)/g'(c) まで示せても、この両辺の lim をとることができません。

例えば、自明な例では、a=0, f(x)=x, g(x)=x^2 のとき、x>a=0でg'(x)=2x>0で、
　1/x = x/x^2 = f(x)/g(x)=f'(c)/g'(c) = 1/(2c) …(1)
を満たすcは存在します（c=x/2）が、
　lim_{x→0+0} f'(x)/g'(x) = lim_{x→0+0} (1/(2x))
は存在しません（発散してしまう）ので、(1)のlimをとることができません。

もう少し自明でないものでは、a=0, b=π/2, f(x)=sin(x), g(x)=x^2 でも、x>a=0 で g'(x)>0ですが、
　sin(x)/x^2 = f(x)/g(x)=f'(c)/g'(c) = cos(c)/(2c)→∞
になります。

回答No.4

koko_u_

全然反例とか考えてませんが、

"lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝が存在すれば"

というのは「定理の前提」です。この前提の元で 　lim_{x→a+0}｛ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ)｝の "存在性" と "その値" の両方が得られているのがロピタルの定理の要点です。

当然、定理の前提条件を緩めた時(例えば lime {f'(x)/g'(x)}がプラスに発散する時)になにが言えるかを考えるのは重要です。是非考えてもらいたい。

# 私はギブ。

回答No.2

Tacosan

あ, しもた. x→0 じゃなくて x→∞ だ.
えと... まあそんな感じということで.

回答No.1

Tacosan

lim (x→0) (x + sin x)/x
のときに困っちゃうという指摘があるなぁ.

参考URL：

http://www5a.biglobe.ne.jp/%7Esunomono/iro0168.html