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ヴィエトの公式の証明は？
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半径1の円について、中心角φの弦の長さL(φ)は L(φ) = 2 sin(φ/2) = 4 sin(φ/4) cos(φ/4) 中心角φ/2の弦の長さは L(φ/2) = 2 sin(φ/4) したがって、 2L(φ/2)/L(φ) = 1/cos(φ/4) これを使うと、内接正2n角形の周の長さP(2n)と内接正n角形の周の長さP(n)の比は P(2n)/P(n) = 1/cos(π/(2 n)) ここで、 C(k) = cos(π/(2^(k+1))), k = 1,2,… とおくと、初項は C(1) = √(1/2) 半角公式 cos(θ) = √(1/2 + cos(2θ)/2) より漸化式 C(k+1) = √(1/2 + C(k)/2) が得られます。 この数列C(k)を使って、 P(2^1) = 4 P(2^2) = 4/C(1) P(2^3) = 4/(C(1)C(2)) 一般に P(2^n) = 4/Π[k=1 to n-1]C(k) lim[n→∞]P(2^n) = 2 π より、 π = 2/Π[k=1 to ∞]C(k)
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- ryn
- ベストアンサー率42% (156/364)
最初の k 項の積は半径1の円に内接する正 2^{k+1} 角形の面積になっています．
お礼
こんにちは。 アドバイスありがとうございました。 このことは自分でも気づいたのですが…＾＾；
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お礼
こんにちは。 ご回答ありがとうございました。 よくわかりました。