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絶対的連続とは?
- 絶対的連続とは、関数がある条件を満たす場合の連続性のことです。
- 絶対的連続の条件を満たすと、ある閉区間を含む不交区間の和の長さが十分小さければ、関数の差分が任意の小さな値になります。
- 絶対的連続の条件には、総和を取ることや区間の長さを制約することが含まれています。
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社会人になってまた数学の勉強始めたんですが、いきなり躓いてしまいました。どなたか助けてください。「無限と連続」の数学 という本を現在やっています。 関数 y=f(x) が x=a で連続であるための必要十分条件は a に収束する任意の数列 a[n] について、数列 { f(a[n]) } が f(a) に収束することである この定理の証明なのですが、 x=a で連続である時 { f(a[n]) } が f(a) に収束することは示せたのですが、逆に { f(a[n]) } が f(a) に収束するとき x=a で連続であるというのが示せません。というか成り立たない気がするのですが… 以下、私の考え↓ f(x)を次のように定義します x=a[n] のとき a[n] x=a のとき a x=/=a かつ x=/=a[n]のとき a+3 この関数の場合 { f(a[n]) }は f(a) に収束するが、x=aが連続でないという命題が示せてしまう 任意のδ>0 s.t. 存在するx∈R |x-a|<δかつ|f(x)-f(a)|>=2 を示す どのようなδをとっても、開区間(a-δ,a+δ)のなかにはx=/=a かつ x=/=a[n] を満たす点が存在しいてしまうのでf(x)はそのxの値においてa+3の値をとり、|f(x)-f(a)|>=2をみたすので上記の命題は真になる 以上が私の考えです。ただ、ちょっと不安に思う点があります。 wikipediaの関数の連続性について書かれている記事だと(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95) s.t.のすぐ後に「任意のx∈R」とあります。だから連続の命題の否定は 存在するε>0 任意のδ>0 s.t. 存在するx∈R |x-a|<δかつ |f(x)-f(a)|>=ε になるのではないかと思うのですが、私の取り組んでいる本には「存在するx∈R」のような表記がありません。 私の考えはどこで間違っているのでしょうか。
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お礼
回答をありがとうございます. 通常の連続や微分可能性ではわかりませんでしたが,やはり,ルベーグ積分のほうで関係していたんですね.高木貞治の解析概論でいま見てみましたが,なかなか難しいようです.回答者様のくだけた説明がたいへんわかりやすかったです.ありがとうございました.