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絶対値を含む関数の定積分
f(x)を0≦x≦1において連続かつ、0＜x＜1において微分可能でf'(x)＞0を満たす関数とする。0＜t＜1に対し I(t)=∫(0→1)│f(t)－f(x)│xdx とおく。 （１）導関数I'(t)を求めよ。 という問題なのですが、とりあえず絶対値がついたままでは積分できないので絶対値をはずすことから考えるというのはわかります。ですが、この絶対値をはずすという作業がどうも理解できていません。この問題では積分区間のxの範囲に加えてtの範囲まで示されています。二つも範囲が出てくるともうお手上げです。範囲が一つであればまだどうにかできるかもしれないのですが…どうかアドバイスお願いいたします！ ちなみに解答は｛0＜x＜tのとき｝｛t＜x＜1のとき｝の二つの場合に分けていました。
- rockman9
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f'(x)＞０よりf(x)は単調増加関数 ｔは０と１の間にありますから ０＜ｘ＜ｔのときf(x)<f(t) ｔ＜ｘ＜１のときf(t)<f(x) ｔとｘの範囲が書いてありますが 先の人が答えておいでになるように ｔは（積分が済むまでは）定数と考えておきます。 当然f(t)も定数扱い 動いていくのはｘで ｔは０と１の間にあるよ、というだけです。 I'(t)を求めるところでｔも、やっと変数扱いです。
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- daito
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「f(x)を0≦x≦1において連続かつ、0＜x＜1において微分可能でf'(x)＞0を満たす関数とする。0＜t＜1」という条件の下では ｛0＜x＜tのとき｝には f(t)－f(x)＞０となるので │f(t)－f(x)│＝f(t)－f(x) で I(t)=∫(0→1)｛f(t)－f(x)｝xdx となり ｛t＜x＜1のとき｝にはf(t)－f(x)＜０となるので │f(t)－f(x)│＝－｛f(t)－f(x)｝ で I(t)=∫(0→1)｛f(x)－f(t)｝xdx となるので、まずこの二つの場合でｔを定数として積分し、その後ｔの関数として考えればよいのです
お礼
ご説明ありがとうございます！
- 0shiete
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積分はxについての積分ですよね。ですから、x以外の文字（変数）は、みんな固定して考えればよいわけです。つまり、x以外の文字はすべて、数字だと思えばよいわけです。 tを「0.5」に書きかえて考えてみてください。
お礼
おっしゃる通りです。積分の基本を疎かにしていました。ありがとうございます！
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お礼
分かりやすい説明ありがとうございます！