確率の問題です。

質問

３つの箱（１つが当たり）からプレーヤーが１つ選択し、その後ホストが外れの箱を1つ開け、その後プレーヤーが箱の選択を変更できる場合、変更すると確率が上がるという問題の応用問題です。
　現在箱が７つ（当たりは１つ）あります。そして、プレーヤーがどれかの箱を選択します。するとホストが、外れの箱を１つあけます。続けて、プレーヤーに箱の変更できるチャンスが与えられ、箱選択後ホストがまた外れの箱を開けます。それをもう一度繰り返し、計３回箱を選び、そのたびにホストが箱を開けます。ホストが３つドアを開けた後、箱の最終選択をします。この場合、どういう戦略を取ると当たる確率が一番高くなりますか？
　という問題なんですが、よくわからなくて困っています。全て違う箱を選択していく場合、ホストの開ける箱によって、確率に影響が出てくると思うのですが、その計算などができずに困っています。考え方自体が違うかもしれないので、分かる方いましたら回答おねがいします。

回答No.5

Naoki_M · ベストアンサー

長文失礼します。条件が不足しているのでこのままでは解くことができません。詳しい条件について、補足をお願いします。

とりあえず２通りの場合を考えて、それぞれ解いてみます。
★箱の区別ができない場合
まず、＃２さんの回答と同じく、「箱の選択を変更した場合、変更前の箱は元に戻し、どれを過去選択したかは分からなくなるものと仮定」します。結論から言えば、以下のようになります。

P(変更しない,変更しない,変更しない)...1/7(14.3%)
P(変更しない,変更しない,変更する)...2/7(28.6%)
P(変更しない,変更する,変更しない)...3/14(21.4%)
P(変更しない,変更する,変更する)...11/42(26.2%)
P(変更する,変更しない,変更しない)...6/35(17.1%)
P(変更する,変更しない,変更する)...29/105(27.6%)
P(変更する,変更する,変更しない)...29/140(20.7%)
P(変更する,変更する,変更する)...111/420(26.4%)

私は＃２さんとは別の解法で解きましたが、値はおそらく同じになっていると思います。条件付き確率（参考URL）の考え方を使って以下のように解きました。

まず、ホストが１度目に箱を開けたという条件のもとで、それぞれの箱が当たりである確率を計算します。
選んだ箱が当たりである確率は、
{(1/7)*(1/6)}/{(1/7)*(1/6)+(5/7)*(1/5)}=1/7
選ばなかった箱が当たりである確率は、それぞれの箱について、
{(1/7)*(1/5)}/{(1/7)*(1/6)+(5/7)*(1/5)}=6/35
です（後者は(1-1/7)*1/5としても求められます）。

【１回目に箱を変更しなかった場合】
ホストが箱を開ける前は、選んだ箱が当たりである確率は1/7、選ばなかった箱が当たりである確率はそれぞれ6/35ずつです。ホストが２回目に箱を開けたという条件のもとでは、
選んだ箱が当たりである確率は、
{(1/7)*(1/5)}/{(1/7)*(1/5)+(24/35)*(1/4)}=1/7
選ばなかった箱が当たりである確率は、それぞれの箱について、
{(6/35)*(1/4)}/{(1/7)*(1/5)+(24/35)*(1/4)}=3/14
です（後者は(1-1/7)*1/4としても求められます）。

【１回目に箱を変更した場合】
ホストが箱を開ける前は、選んだ箱が当たりである確率は6/35で、選ばなかった箱が当たりである確率はそれぞれ29/175ずつです。過去に選んだ箱との区別がつかないという仮定があるのでこうなります。
ホストが２回目に箱を開けたという条件のもとでは、　
選んだ箱が当たりである確率は、
{(6/35)*(1/5)}/{(6/35)*(1/5)+(116/175)*(1/4)}=6/35
選ばなかった箱が当たりである確率は、それぞれの箱について、
{(29/175)*(1/4)}/{(6/35)*(1/5)+(116/175)*(1/4)}=29/140
です（後者は(1-6/35)*1/4としても求められます）。

このように、ホストが箱を選んだ後も、選んだ箱が当たりである確率は変化しません。一方、選ばなかった箱のそれぞれが当たりである確率は上がります。同じように計算して、上記の値を得ました。

★箱の区別ができる場合
次に、「箱の選択を変更したあとも、選んだ箱と選ばなかった箱の区別はつくものと仮定」します。「ホストは、プレーヤーがその時点で選んでいない箱のうち、ハズレの箱を開ける。ただし、それぞれの箱を選ぶ確率は同じである。プレイヤーが過去に選んだことのある箱でも、その時点で別の箱を選んでいれば、ホストが開ける可能性がある。」という条件を加えます。

この条件では、「ホストの開ける箱によって、確率に影響が出てくる」という質問者さんの考え方で合っています。考えなければいけない場合がたくさんあって複雑です。解き方は分かるのですが、解くのに時間がかかるので、考え方のみ解説します。計算には条件付き確率の考え方（参考URL）を使います。長くなるので数式は省略します。

それぞれの箱にA,B,C,D,E,F,Gという名前をつけます。それぞれの箱が当たりである確率を、以下のように表すことにします。
P()=(1/7,1/7,1/7,1/7,1/7,1/7,1/7)
これは、それぞれの箱が当たりである確率が1/7ずつであるという意味です。

プレイヤーがAの箱を選択し、ホストがGの箱を開けたという条件のもとで、それぞれの箱が当たりである確率を以下のように表すことにします。
P(A選,G開)=(1/7,6/35,6/35,6/35,6/35,6/35,0)

最初Aの箱を選び、ホストがGの箱を開けたあと、Bの箱に変更した場合は次のようになります。
P(A選,G開,B選,A開)=(0,1/6,5/24,5/24,5/24,5/24,0)
P(A選,G開,B選,C開)=(25/139,24/139,0,30/139,30/139,30/139,0)
P(A選,G開,B選,D開)=(25/139,24/139,30/139,0,30/139,30/139,0)
P(A選,G開,B選,E開)=(25/139,24/139,30/139,30/139,0,30/139,0)
P(A選,G開,B選,F開)=(25/139,24/139,30/139,30/139,30/139,0,0)
この時点では、どの箱を選べば最終的に当たる確率が一番高いかわかりません。したがって、場合分けして当たる確率を計算してから、その期待値を計算する必要があります。

例えば、(A選,G開,B選,F開)のあとにCを選んだ場合、考えられるのは次の４通りです。
P(A選,G開,B選,F開,C選,A開)=(0,48/213,45/213,60/213,60/213,0,0)
P(A選,G開,B選,F開,C選,B開)=(10/43,0,9/43,12/43,12/43,0,0)
P(A選,G開,B選,F開,C選,D開)=(50/203,48/203,45/203,0,60/203,0,0)
P(A選,G開,B選,F開,C選,E開)=(50/203,48/203,45/203,60/203,0,0,0)

したがって、(A選,G開,B選,F開)の時点では、Cを選んで当たる確率は、
(1/4)*(60/213)+(1/4)*(12/43)+(1/4)*(60/203)+(1/4)*(60/203)
となります。

このように場合分けして期待値を計算していけば、どの戦略が最適か求められます。対称性に気をつけて計算すれば、場合分けの種類を減らすことができます。

参考URL：

http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1332810

補足

回答ありがとうございます。質問が悪くてすいませんでした。選択した箱は区別できるものとします。
やはり、期待値まで求めなければいけないんですね。箱の選択を全て変えた場合、ホストの明ける箱によって確率の数値が大きく変わってくるので悩んでいました。
問題が上に書いた文書のみだったのでホストの行動はプレーヤーに対して最も有効な行動を取るなどといった条件を考えるべきか迷っていました。やはり、ホストがハズレの箱を開ける確率を全て等しいものとして考えるんですね。
Naokiさんの回答を参考にさらに考えてみます。

回答No.4

shkwta

4回とも同じ箱を選ぶのをAAAA戦略、3回同じ箱を選んで4回目に変えるのをAAAB戦略、4回とも異なる箱を選ぶのをABCD戦略、などと表記します。xxxx戦略の当たりの確率をP(xxxx)と書きます。

(1)AAAA戦略の場合：当否は最初に選んだ箱で決まるから、P(AAAA)=1/7　です。

(2)AAAB戦略の場合：Bが当たるにはAがはずれでないといけません（その確率は6/7)。AAAまで選んだところで、開いている箱は3個なので、A以外に選べる箱は3個。つまりAがはずれのときBが当たる確率は1/3。よって、P(AAAB) = (6/7)(1/3) = 2/7

(3)ABCA戦略の場合：最後にAを選ぶのだから、B,Cが何であってもAだけで決まり、P(ABCA)=1/7

(4)ABCD戦略の場合：Dが当たるにはABCがはずれでないといけません。Aがはずれの確率は6/7。Aを選んだところで、開いている箱は1個なので、A以外に選べる箱は5個。よって、Aがはずれのとき、Bがはずれの確率は4/5。ABまで選んだところで、開いている箱は2個なので、A,B以外に選べる箱は3個。A,Bがはずれのとき、Cがはずれの確率は2/3。ABCまで選んだところで、開いている箱は3個なので、Dとして選べる箱は1個しかありません。つまり、A,B,Cがはずれなら、Dが当たりです。よって、P(ABCD)=(6/7)(4/5)(2/3)=16/35

他の戦略は省略しますが、こんな感じで、全部の戦略の計算をすればABCD戦略が確率最大であることが証明できます。ホストの開ける箱は必ずはずれなので、ホストがどの箱を開けても確率は変わりません。

回答No.3

sunasearch

外れる可能性が高い間は、箱を変更し続けるのが良いと思われますので、すべて変更するのが確率が最も高くなると思います。

確率は、はずれを３回引き続けたとき、ホストがはずれを３つあけているので、のこり１つがあたりになります。

この確率は、
１回目はずれ：6/7
２回目はずれ：4/5
３回目はずれ：2/3
の積で求められますから、

求める確率は16/35　＝　約45.7%　となります。

補足

回答ありがとうございます。最終の箱を選択するまで、箱は当たりか外れか確認することができません。しかし、ホストはプレーヤーが選択した箱を開く可能性もあります。45.7％という確率は、プレーヤーが以前に選択した箱を開けると確率が低くなります。ホストが２回目の箱、または３回目の箱をプレーヤーが以前選択したものを開く場合、20％代まで下がってしまいます。そのあたりを悩んでいました。

回答No.2

matsu_jun

質問だけでは状況が完全に把握できませんが、ここでは箱の選択を変更した場合、
変更前の箱は元に戻し、どれを過去選択したかは分からなくなるものと仮定しますね。
つまり、
・最初の選択では7個の中から選択
・次に、残った6個のうち、ホストがハズレ1個を除外した5個のうちから
　変更するかしないかを選択
・次に、残った5個のうち、ホストがハズレ1個を除外した4個のうちから
　変更するかしないかを選択
・最後に、残った4個のうち、ホストがハズレ1個を除外した3個のうちから
　変更するかしないかを選択
という手順を経るものと仮定します。

するとプレイヤーの選択としては、
1) 最初だけ7個のうちから1個を選択し、あとは変更しない。
2) 1回だけ箱の変更をする。
3) 2回箱の変更をする(=1回だけ変更をキャンセルする)。
4) 3回全て箱の変更をする。

さて、重要なポイントが一つ
「自分があたりを引いているときに箱を変更すると、その箱は必ずはずれである」
これを言い換えると、「あたりは連続しない」ということです。
これを踏まえて、上の1)から4)の全てについて考えていけばよいわけです。

1) 最初だけ7個のうちから1個を選択し、あとは変更しない場合
1/7

2) 1回だけ箱の変更をする場合
最初の選択は必ず外れていなければならないので、その確率は6/7
2-1) 1回目だけ変更する場合
6/7 × 1/5
2-2) 2回目だけ変更する場合
6/7 × 1/4
2-3) 3回目だけ変更する場合
6/7 × 1/3

3) 2回箱の変更をする(=1回だけ変更をキャンセルする)場合
すなわち1回だけ変更しないと言い換えることができるので
3-1) 1回目だけ変更しない場合
3-2) 2回目だけ変更しない場合
3-3) 3回目だけ変更しない場合
最初に言ったように、当りが連続することはありえないので、
最初の選択－1度目の変更－2度目の変更のパターンとしては
ア) はずれ－はずれ－当り
イ) 当り－はずれ－当り
の2パターンあります。この2つの事象は独立しているので、2つのどちらかがおこる確率は
それぞれの確率の単純な和で表される。したがって、3-1)の場合で考えると、
ア) 6/7 × 3/4 × 1/3
イ) 1/7 × 4/4 × 1/3
3-1) 6/7 × 3/4 × 1/3 ＋ 1/7 × 4/4 ×1/3
3-2)、3-3) については上の3-1) を参考に自分で計算してみてください。

4) 3回全て箱の変更をする場合
最初の選択－1度目の変更－2度目の変更－3度目の変更 のパターンとしては
ア) 当り－はずれ－はずれ－当り
イ) はずれ－当り－はずれ－当り
ウ) はずれ－はずれ－はずれ－当り
の3通りになります。ちなみに3通りであることを導く手段として、
「3度目の変更で当りなら、2度目の変更時は絶対はずれです、2度目の変更がはずれということは、
1度目の変更ははずれでも当りでもありえます。1度目の変更時が当りなら、最初の選択時は
必ずはずれ、1度目の変更時がはずれなら最初の選択時は当りかはずれかの2通り」
ということです。
で、ア)、イ)、ウ) の3つの事象は独立しているので、3つの確率の合計が求める確率となります。
ここまでが理解できていれば、ア)、イ)、ウ) それぞれの当る確率は計算できるはずです。

ぱっと計算したところ、最初に選択した後、1回目2回目の変更をキャンセルし、
最後の選択時のみ変更するのが最も当る確率が高いようです。(約28.6%)
さらに2番目に当る確率が高いのは、2回目の変更のみのキャンセルで、約27.6%
最も確率が低いのは1度も変更を行わない場合で、約14.3%となりました

長々と書きましたが、違っていたらごめんなさい。

回答No.1

ruralcala

確率は1/7 2/7 3/7 4/7（1回目、2回目、３回目、4回目に選んだ箱を最終選択で選ぶ確率）

簡単に言うと、今選んだ箱を最終選択でも選ぶのであれば、それ以降の全ての、プレーヤーとホストの行為は、無視できる。すなわち、最終的に選んだ箱が当たりである確率には、それらの行為は影響ないのではなく、その箱を選んだ時点の確率を考えれば良いのでは？そう考えるとホストの選択に確率は影響ないのでは？

例えば、最初に選んだ箱が当たりである確率は７分の1。一連の行為の後、最終選択でも同じ箱を選ぶのであれば、ホストが箱を開けるといった行為は、あろうがなかろうが、どの箱開けようが、確率には影響ありません。２回目は、やはり同じ箱を選べば、確率はやはり７分の１、違う箱を選び、それを最終選択時でも選ぶのであれば、その時点の確率、７個の箱から、ホストとプレーヤーで１つずつ計２個箱を開けた計算になるので、確率は７分の２。以下同様。

お礼

回答ありがとうございます。
全ての確率は求めることはできました。
しかし、毎回箱の選択を変えていくと、ホストが開くドアを考えた場合17.1％～45.7％まで変化するのでそこをもっと考えて見ます。