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X5乗-1=0 の因数分解の仕方は?

  • 暇なときにでも
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お礼率 42% (28/66)

私は、高2です。
X5乗-1=0 の因数分解はどうやってするのですか?
又、x(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)+5=0
からは、解けるのでしょうか?
又、x5乗ってどうやって入力するのですか?
どなたか教えて下さいお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.9
レベル13

ベストアンサー率 24% (357/1463)

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
を解けばよいわけですね。
x=1が解の一つであることはすぐ分かりますね。
あとは
x^4+x^3+x^2+x+1=0
を解けばよいわけですが、少し工夫が必要です。
まずx=0は解ではありませんから、両辺をx^2で割ることができます。
x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)=0  ・・・(1)
となります。
ここで、
t=x+x^(-1)  ・・・(2)
とおくと、
x^2+x^(-2)=t^2-2
ですから、(1)は
(t^2-2)+t+1=0 すなわち、
t^2+t-1=0
と書き直すことができます。
二次方程式ですからすぐ解けますね。
出てきた解を(2)に当てはめればxの解が求まります。
あまりすっきりした形にならないので計算は少々大変ですが、
頑張って下さい。
お礼コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

ご返答有り難うございました。
この次にあった問題の応用に貴方の解答がちょうど使えました。
次に、回答して頂ける機会がありましたら宜しくお願いします。
投稿日時 - 2001-09-13 08:40:04
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  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 36% (137/380)

  X5乗-1=0 -1を右辺に移項して、   X5乗=1 同じ数字を5回かけて1になるのは、X=1のとき。   x(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)+5=0 これを解くと、   x(x2乗-1)(x2乗-1)+5=0   x(x2乗-1)2乗+5=0   x(x4乗-2x2乗+1)+5=0   x5乗-2x3乗+x+5=0 これを解いても、x=1にはならないので、間違っ ...続きを読む
  X5乗-1=0
-1を右辺に移項して、
  X5乗=1
同じ数字を5回かけて1になるのは、X=1のとき。


  x(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)+5=0
これを解くと、
  x(x2乗-1)(x2乗-1)+5=0
  x(x2乗-1)2乗+5=0
  x(x4乗-2x2乗+1)+5=0
  x5乗-2x3乗+x+5=0
これを解いても、x=1にはならないので、間違っていると思います。


『x5乗の入力』とは、なんのことを指していらっしゃるのかわかりません。
質問をするときに、どう入力したらよいか、ということでしょうか?
お礼コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

曖昧な質問ですみませんでした。
次からは、注意しようと思います。
回答有り難うございました。
投稿日時 - 2001-09-13 08:51:50


  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 23% (256/1092)

まず、因数分解ですから、別に右辺に=0をつけることはありませんよ。 5乗は、^5なんて書き方をします。^5でも別にいいと思います。 さて、x^5-1は、x-1かx+1で割れるなら、因数分解できますよね。 試してみると、x-1で割れます。 (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) 右側がもうすこし進むかどうかも考えてみてください。 方程式ですが、5を右辺に持っていくと、どうやらx ...続きを読む
まず、因数分解ですから、別に右辺に=0をつけることはありませんよ。

5乗は、^5なんて書き方をします。^5でも別にいいと思います。

さて、x^5-1は、x-1かx+1で割れるなら、因数分解できますよね。
試してみると、x-1で割れます。
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
右側がもうすこし進むかどうかも考えてみてください。

方程式ですが、5を右辺に持っていくと、どうやらxは負の数だということがわかる程度です。
全部展開してから因数分解しなおしますけどね、僕なら。
補足コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

すみません、問題を少し書き間違えました。
α^5=1 の複素数を使う問題です。皆さん、改めてお願いします。
投稿日時 - 2001-09-12 11:09:38
  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 54% (28/51)

因数分解という言葉さえ忘れてしまっていました。 おもわず自嘲しています。 > 又、x5乗ってどうやって入力するのですか? この質問にお答えします。 このホームページ上で小さい「5」を表示することは不可能です。 故に、「x^5」と書けばいいと思います。 ...続きを読む
因数分解という言葉さえ忘れてしまっていました。
おもわず自嘲しています。

> 又、x5乗ってどうやって入力するのですか?

この質問にお答えします。
このホームページ上で小さい「5」を表示することは不可能です。
故に、「x^5」と書けばいいと思います。
お礼コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

有り難うございました。
私個人としては、貴方のような回答の仕方は親近感があって好きです。
ポイントをおくれないことが残念です。
次に機会があれば宜しくお願いします。
投稿日時 - 2001-09-13 08:50:12
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 36% (137/380)

すみません! 下の解答、問題を読み間違えていました。 申し訳ないです。 ...続きを読む
すみません!
下の解答、問題を読み間違えていました。
申し訳ないです。
補足コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

すみません、問題を少し書き間違えました。
α^5=1 の複素数を使う問題です。皆さん、改めてお願いします。
投稿日時 - 2001-09-12 11:19:43
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

因数分解というやり方は  (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) までしか思い付かないのではないでしょうか。 複素数の極表示をご存知でしょうか? このあたりを補足をお願いします。 もし、知っておられるなら1の5乗根ですから、 αは複素平面の単位円周上を5等分する点になるのですが、 知らない場合は少し計算が大変です。 ...続きを読む
因数分解というやり方は
 (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
までしか思い付かないのではないでしょうか。

複素数の極表示をご存知でしょうか?
このあたりを補足をお願いします。
もし、知っておられるなら1の5乗根ですから、
αは複素平面の単位円周上を5等分する点になるのですが、
知らない場合は少し計算が大変です。
補足コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

一応、知ってます。
投稿日時 - 2001-09-12 12:01:13
  • 回答No.7
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

極形式 z=r(cosθ+isinθ) ド・モアブルの定理 (cosθ+isinθ)^n=(cos(nθ)+isin(nθ)) も習っているのではありませんか? ここでは一般の方も多く回答されていますので、自分にどれだけの知識があるのか、何処まで解けたのか?書かれておかれますと、回答者も対応しやすいようです。 ...続きを読む
極形式
z=r(cosθ+isinθ)
ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n=(cos(nθ)+isin(nθ))
も習っているのではありませんか?

ここでは一般の方も多く回答されていますので、自分にどれだけの知識があるのか、何処まで解けたのか?書かれておかれますと、回答者も対応しやすいようです。
お礼コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

うっかりしてました。アドバイス有り難うございます。
投稿日時 - 2001-09-12 12:51:34
  • 回答No.6

因数分解でなく極形式にしてまず、解を求めました。 極形式 z=r(cosx+isinx) r>0 (角はxにしちゃいました) z^5=1より r^5*(cosx+isinx)^5=1 r=1 (cosx+isinx)^5=1 ド・モアブルの定理より(とても重要な定理) (cosx+isinx)^5=1 cos5x+isin5x=1 両辺の複素数の実部と虚部を比較して cos5x=1, ...続きを読む
因数分解でなく極形式にしてまず、解を求めました。
極形式 z=r(cosx+isinx) r>0 (角はxにしちゃいました)
z^5=1より r^5*(cosx+isinx)^5=1
r=1 (cosx+isinx)^5=1
ド・モアブルの定理より(とても重要な定理)
(cosx+isinx)^5=1
cos5x+isin5x=1
両辺の複素数の実部と虚部を比較して
cos5x=1,sin5x=0
5x=360*n nは整数
x=72*n
単位円を0度から5等分した角になる。0から360では
0、72、144、216、288なので
答えは
x1=cos0+isin0=1
x2=cos72+isin72
x3=cos144+isin144
x4=cos216+isin216
x5=cos288+isin288
の5つになります。
お礼コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

丁寧な回答を有り難うございました。
次の機会があれば、宜しくお願いします。
投稿日時 - 2001-09-13 08:42:57
  • 回答No.8
レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

>一応、知ってます。 補足ありがとうございます。 まず、念のための前置きですが任意の複素数は極表示で  z = r(cosθ+isinθ) と書くことが出来ます。このとき、例えば z^2 は  z^2 = r^2(cosθ+isinθ)^2    = r^2{(cos^2θ-sin^2θ)+i(2sinθcosθ)}    = r^2(cos2θ+isin2θ) となります。 一般に ...続きを読む
>一応、知ってます。
補足ありがとうございます。

まず、念のための前置きですが任意の複素数は極表示で
 z = r(cosθ+isinθ)
と書くことが出来ます。このとき、例えば z^2 は
 z^2 = r^2(cosθ+isinθ)^2
   = r^2{(cos^2θ-sin^2θ)+i(2sinθcosθ)}
   = r^2(cos2θ+isin2θ)
となります。
一般に z = r(cosθ+isinθ) のとき z^n は
 z^n = r^n{cos(nθ)+isin(nθ)}
となることがわかります。(de Moivreの公式ですね。)
この数式を複素平面上で考えてみると
絶対値1の複素数 cosθ+isinθ を掛けることは角度θの回転を意味します。

すると、α^5=1を満たすαは5回 回転して複素平面上で点(1,0)に
戻ってくることになります。
まず、
 r^5{cos(5θ)+isin(5θ)}=1
の両辺絶対値をとると r=1 であることがわかります。
すると、
 cos(5θ)+isin(5θ)=1
となりますが、5θ=2nπ のときにこの式は満たされます。
0≦θ<2π とすると n=0,1,2,3,4 となります。
つまり、θは
 θ = 0,2π/5,4π/5,6π/5,8π/5
の5つです。これらが1の5乗根になっています。
 a = cos(2π/5)+isin(2π/5)
とすると、因数分解の結果は
 (x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
となります。
補足コメント
siroyagikuroyagi

お礼率 42% (28/66)

二回にわたる書き込み有り難うございました。
πをつかえる方法は、まだなれないせいか気づきませんでした。
つきの機会がありましたら宜しくお願いします。
投稿日時 - 2001-09-13 08:43:17
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