複素数を指数関数に書き直す方法

質問

• ある本の式の展開を追っていたら，複素数を指数関数に書き直す方法が分からなくなりました．
• 該当する式を書き直すと，別の式になるとある本には載っているのですが，理解できません．
• つまり，私の頭では別の式になりますが，本には別の式が載っているようです．皆さんのご意見をお聞きしたいです．

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

γ^2 がわかっていて，γが知りたいという話ですね．

(2)の exp のところは
(2')　　　exp [j {π - tan^{-1} (RgA/ω)}]
の間違いでしょうか？

それから，R,g,A,ω は全部正でしょうか？
以下，R,g,A,ω は全部正とします．

(a)　　γ^2 = |γ|^2 exp(jθ)
と書きたい．
|γ| はＯＫとして，偏角のθが問題です．
(1)からわかるように，γ^2 は実数部が負，虚数部が正ですから
第２象限にあります．
で，角度のθですが
(b)　　tanθ = sinθ/cosθ = - RgA/ω
ですから，
(c)　　θ=tan^(-1) [- RgA/ω] = - tan^(-1) [RgA/ω]
で良さそうな気がしますが，tan^(-1) x は多価関数で，主値は
(d)　　-π/2 < tan^(-1) x < π/2
すなわち，第１及び第４象限の角になるように，定義されています．
つまり，tan^(-1) [-RgA/ω] は下図の●の偏角です．

　　　　虚
　 γ^2 │
　　○　│　γ
　　　　│　□
　　　　│
────┼────実
　　　　│
　　　　│
　　　　│　●
　　　　│

○も●も tan の値は同じであることに注意してください．
したがって，γ^2 の偏角は
(e)　　θ=π + tan^(-1) [-RgA/ω] = π - tan^(-1) [RgA/ω]
です．あとは
(f)　　γ = |γ| exp(jθ/2)
　　　　　= |γ| exp{ jπ/2 - (1/2) j tan^(-1) [RgA/ω]}
　　　　　= |γ| j exp{- (1/2) j tan^(-1) [RgA/ω]}
　　　　　= |γ| j cos{(1/2) tan^(-1) [RgA/ω]}
　　　　　　+ |γ| j (-j) sin{(1/2) tan^(-1) [RgA/ω]}
で，(3)(4)式になります．

θが第２象限にあるのですから，θ/2 は第１象限にあるわけです．
したがって，α>0，β>0 ですね．
(6)(7)ではそうなりません．

なお，もう少し注意するべきところがあります．
θは 2πの整数倍つけ加えてもＯＫですね．
つまり，もう一周，二周，三周,...，してきてもよい．
一般的に書くなら
(g)　　θ= π - tan^(-1) [RgA/ω] + 2nπ
です．
こうすると
(h)　　θ/2 = [n+(1/2)]π - (1/2) tan^(-1) [RgA/ω]
ですが，n が偶数か奇数かで，
(f)のγがそのまま出てきたり，負号がついて出てきたりします．
θが一周回っても，θ/2 は半周しか回らないわけです．

したがって，最も正確に言うならば
(i)　　α = ±(3)式
(j)　　β = ±(4)式
で，複合同順です．

平方根が２通りあるのは，普通の実数の場合も同じですね．
例えば √4 = 2 というように，
√の記号は２つある平方根の内，どちらをとるかが決まっています．
複素数に対してはどのようにするかは決まっていないのですが，
実数部が正の方を取ることはしばしばあります．
そのようにするなら，(3)(4)でＯＫですね．

お礼

siegmund先生，ありがとうございました．回答を読み終えたとき，一人で「すげぇ～」を連呼しました．非常に丁寧な解説で，大変わかりやすかったです．
これからも，よろしくお願いします．