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複素数を指数関数に書き直せません.

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お礼率 64% (22/34)

ある本の式の展開を追っていたら,どうしても理解できない式にあたりました.
その式を下のサーバーに載せましたので,見てください.
http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Cafe/7812/siki.pdf
まず,(1)式があります.この式は間違っていません.
この(1)式を書き直すと,(2)(3)(4)式になるとある本には載っているのですが,理解できません.出来の悪い私の頭では(5)(6)(7)式としか考えられません.皆様のお考えをいただきたく質問させていただきました.

何か補足が必要でしたら,お申し付けください.
皆様,人助けとおもってご回答をよろしくお願い申し上げます.
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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

γ^2 がわかっていて,γが知りたいという話ですね.

(2)の exp のところは
(2')   exp [j {π - tan^{-1} (RgA/ω)}]
の間違いでしょうか?

それから,R,g,A,ω は全部正でしょうか?
以下,R,g,A,ω は全部正とします.

(a)  γ^2 = |γ|^2 exp(jθ)
と書きたい.
|γ| はOKとして,偏角のθが問題です.
(1)からわかるように,γ^2 は実数部が負,虚数部が正ですから
第2象限にあります.
で,角度のθですが
(b)  tanθ = sinθ/cosθ = - RgA/ω
ですから,
(c)  θ=tan^(-1) [- RgA/ω] = - tan^(-1) [RgA/ω]
で良さそうな気がしますが,tan^(-1) x は多価関数で,主値は
(d)  -π/2 < tan^(-1) x < π/2
すなわち,第1及び第4象限の角になるように,定義されています.
つまり,tan^(-1) [-RgA/ω] は下図の●の偏角です.

    虚
  γ^2 │
  ○ │ γ
    │ □
    │
────┼────実
    │
    │
    │ ●
    │

○も●も tan の値は同じであることに注意してください.
したがって,γ^2 の偏角は
(e)  θ=π + tan^(-1) [-RgA/ω] = π - tan^(-1) [RgA/ω]
です.あとは
(f)  γ = |γ| exp(jθ/2)
     = |γ| exp{ jπ/2 - (1/2) j tan^(-1) [RgA/ω]}
     = |γ| j exp{- (1/2) j tan^(-1) [RgA/ω]}
     = |γ| j cos{(1/2) tan^(-1) [RgA/ω]}
      + |γ| j (-j) sin{(1/2) tan^(-1) [RgA/ω]}
で,(3)(4)式になります.

θが第2象限にあるのですから,θ/2 は第1象限にあるわけです.
したがって,α>0,β>0 ですね.
(6)(7)ではそうなりません.

なお,もう少し注意するべきところがあります.
θは 2πの整数倍つけ加えてもOKですね.
つまり,もう一周,二周,三周,...,してきてもよい.
一般的に書くなら
(g)  θ= π - tan^(-1) [RgA/ω] + 2nπ
です.
こうすると
(h)  θ/2 = [n+(1/2)]π - (1/2) tan^(-1) [RgA/ω]
ですが,n が偶数か奇数かで,
(f)のγがそのまま出てきたり,負号がついて出てきたりします.
θが一周回っても,θ/2 は半周しか回らないわけです.

したがって,最も正確に言うならば
(i)  α = ±(3)式
(j)  β = ±(4)式
で,複合同順です.

平方根が2通りあるのは,普通の実数の場合も同じですね.
例えば √4 = 2 というように,
√の記号は2つある平方根の内,どちらをとるかが決まっています.
複素数に対してはどのようにするかは決まっていないのですが,
実数部が正の方を取ることはしばしばあります.
そのようにするなら,(3)(4)でOKですね.
お礼コメント
mixed_flow

お礼率 64% (22/34)

siegmund先生,ありがとうございました.回答を読み終えたとき,一人で「すげぇ~」を連呼しました.非常に丁寧な解説で,大変わかりやすかったです.
これからも,よろしくお願いします.
投稿日時 - 2001-08-18 15:25:48
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