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ベクトルについて

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お礼率 71% (57/80)

数学の問題集をしていたら、やり方がわからないところがあったので
《問題集より》
* 平面上の三つのベクトルをOAベクトル=(4,x)、
 OBべクトル=(1,2)、OCベクトル=(x,6)とする。
 3点A,B,Cが一直線上にあるようなxの値を求めよ。

                  答えは -2,5 です
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 38% (256/672)

こんなので分かりますか?

A,B,Cが一直線上にあるので、AB//BC。

ABベクトル = (-3,2-x)
BCベクトル = (x-1,4)

∴-3:(2-x) = (x-1):4

(x-1)(x-2) = 12
x^2 - 3x + 2 = 10
x^2 -3x - 10 = 0
(x-5)(x+2) = 0

∴ x=5,-2
補足コメント
dh6

お礼率 71% (57/80)

よろしかったらこの問題もよろしくおねがい致します。

xy平面上に点A(1,2)、B(2,1)がある。点Pがx軸上を動くとき
PAベクトル+3PBベクトルの大きさが最小になる点Pの座標を求めよ。
投稿日時 - 2001-08-08 21:34:18
お礼コメント
dh6

お礼率 71% (57/80)

回答してくださってありがとうございました。
そういう考え方もあるのですね。
厚かましいとは思いますが余力があれば補足の問題もよろしくお願いします。
投稿日時 - 2001-08-08 21:33:45
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.2
レベル12

ベストアンサー率 38% (256/672)

面倒なので「ベクトル」は省略します。 OA = (1,2) OB = (2,1) OP = (x,0)  以上のように表現できますね。 PA = (1-x,2) PB = (2-x,1) PA+3PB = (7-4x,5) |PA+3PB|^2 = (7-4x)^2 + 5^2 = (4x-7)^2 + 25 これより、|PA+3PB|^2 は 4x-7=0 のとき最小値 ...続きを読む
面倒なので「ベクトル」は省略します。

OA = (1,2)
OB = (2,1)
OP = (x,0)
 以上のように表現できますね。

PA = (1-x,2)
PB = (2-x,1)

PA+3PB = (7-4x,5)
|PA+3PB|^2 = (7-4x)^2 + 5^2 = (4x-7)^2 + 25

これより、|PA+3PB|^2 は 4x-7=0 のとき最小値25をとる。
したがって、|PA+3PB| は x=7/4 のとき最小値5をとる。

つまり問題の答えは、(7/4,0)ということですね。
(計算間違いしてなければ)

そうそう「これで十分」という回答があった場合は、回答受付を締切にした方が良いと思いますよ。
お礼コメント
dh6

お礼率 71% (57/80)

何度もすみません。
とてもわかりやすっかたのでもう一個質問してしまいました。
>PA+3PB = (7-4x,5)
ここまでは思いついたのです。けれどもここから関数に持っていくのが気がつきませんでした。
>|PA+3PB|^2 = (7-4x)^2 + 5^2 = (4x-7)^2 + 25
これは座標をx座標、y座標を二乗したということですね!
初めて知りました。

この 教えて!goo は皆さんの親切さでどんどん知識がついてきます。
回答ありがとうございました!
投稿日時 - 2001-08-09 00:39:54


  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 58% (58/99)

補足に対する解答です。ヒントだけ・・・と思いましたが、 答えを書いたほうがまとめやすそうだったので、解答を。 素直に考えればよろしいでしょう。ポイントは、「大きさが最小になる」という記述をどう 捉えるかです。 Pの座標を(p,0)とすると、 PA(vector)=(2-p,1) PB(vector)=(1-p,2) ですよね。よって、 PA(vector)+3PB(vector)= ...続きを読む
補足に対する解答です。ヒントだけ・・・と思いましたが、
答えを書いたほうがまとめやすそうだったので、解答を。

素直に考えればよろしいでしょう。ポイントは、「大きさが最小になる」という記述をどう
捉えるかです。

Pの座標を(p,0)とすると、
PA(vector)=(2-p,1)
PB(vector)=(1-p,2)
ですよね。よって、
PA(vector)+3PB(vector)=(5-4p,7)
となります。ここまでは多分普通に考え付くと思います。問題はこの先。
「大きさが最小」って言われているのですから、大きさを計算してあげましょう。

PA+3PB=√{(5-4p)^2+49}
ですね。単純に考えて、(5-4p)^2は0以上ですよね。ならば、これが0になるときが、
最小値ってことになりますよね。それは、p=5/4となる点です。また、そのときのベクトルの
大きさは7ってことですね。あってますか?

一般に、長さが最小になるという場合には、
1)微分して、微分した式が0になる
2)二乗の中身が0になるようにする(二次関数の場合など)
など、いろいろな方法があります。微分積分は最もよく使われる方法ですので、
微分を習った際には、ぜひこのことを思い出して下さい。
お礼コメント
dh6

お礼率 71% (57/80)

微分は1学期にならったので、なるほど!と思いました。
1)、2)ともに頭に入れて今後の参考にしようかと思います。
親切なアドバイスありがとうございました。
投稿日時 - 2001-08-09 00:47:10
  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 58% (58/99)

すいません。AとBの座標を取り違えてました。ですから、 No.3の解答は間違いです。 正しくはpiro19820122のとおりでよろしいかと思われます。
すいません。AとBの座標を取り違えてました。ですから、
No.3の解答は間違いです。
正しくはpiro19820122のとおりでよろしいかと思われます。
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