- ベストアンサー
「微分」と「導関数」 「不定積分」と「原始関数」
pyon1956の回答
- pyon1956
- ベストアンサー率35% (484/1350)
f(x)の原始関数はF'(x)=f(x)となるような関数F(x) 不定積分は定数aから変数xまでのf(x)の定積分をあらわすものと考えられています。 なのでy=2xについて 原始関数はy=x^2+c (cは任意の実数) 不定積分はy=x^2-a^2 (aは任意の実数)となるはずですので aになにをいれてもcが正の数になる場合とは一致しません。 昔の三省堂の教科書には解説の方にそういうことが(多分森毅さんの 解説で?)のっていました。 まあおっしゃるとおり高校教育では混乱を避けるためあえて同一視してますが。 慣用の問題として処理するのが妥当なところではないかと思います。
関連するQ&A
- 微分と積分の関係
微分と積分の関係を説明するときに、定積分を使うのはなぜですか? すなわち、 f(t)の原始関数の一つをF(t)として、 (d/dx)∫[a,x] f(t)dt=(d/dx){F(x)-F(a)}=F'(x)=f(x) (∫[a,x]は、下端がaで、上端がxです。) のように定積分を使って、微分と積分の関係を説明するのはなぜですか? 不定積分を使うのはだめなのでしょうか? すなわち、 f(x)の原始関数の一つをF(x)として、 (d/dx)∫f(x)dx=(d/dx){F(x)+C}=F'(x)=f(x) というふうにして、微分と積分が逆演算であることを説明するのはだめなのでしょうか? 個人的には、f(t)が出てきてよく分からなくなってしまう定積分の説明よりも、後者の説明の方がいいと思うのですが、どうなのでしょうか? とても困っています。 回答よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分・積分がわかりません
問題が4つわからないのですが わかる方が居れば教えて下さい! 多くてすみません(>_<) 関数f(x)=4x^2(2x+1)を微分 2次関数f(x)=2x^2-1について、x=1における接線の方程式 2次関数y=-2x^2+13の頂点の座標 ∫(t+1)^3(1-t)dtの不定積分
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分と積分は逆の演算ということですが、
微分と積分は逆の演算ということですが、 この関係を 導関数:原関数=原関数:原始関数と表現して導関数と原始関数の積は原関数の二乗に等しいというような空想の先に何かまともな結果があるでしょうか。せめて比例とか、積という概念に対するより良い理解を与えてくれるというようなこともないでしょうか。2x、x^2、x^3/x^3を例にしてもこの空想が誤りですし、意味がないことは自明なのですが・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分 dx について
積分のdxについて ・不定積分・・・・・微分の逆操作 ・定積分・・・・・・総和Σの極限 であると理解しています。 関数F(x)をf(x)の原始関数とすると、F(x)の微分は、 d/dxF(x)=f(x)です。 不定積分の場合は、微分の逆操作なので、 d/dxF(x)=f(x)の両辺を積分すれば、∫d/dxF(x)=∫f(x)となります。 よって、不定積分は∫f(x)=F(x)+Cではダメなのでしょうか? わざわざf(x)dxとして積分する理由がわかりません・・・ 微分の逆操作という意味であれば、∫f(x)=F(x)+Cはとてもしっくりくるのですが・・・ もちろん、式変形を行いd/dxF(x)=f(x)より、dF(x)=f(x)dxとなり、 両辺を積分すれば、∫f(x)dxが導けることは理解できます。 ∫f(x)dxは、F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和となり、 ∫f(x)dxが直感的に微分の逆操作というイメージが沸きません・・・ F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和が原始関数となる事を 教えて頂けませんでしょうか? (もちろん、積分定数分は切片としてズレる事は理解しています。) そもそも∫○dxは、一対で考えなければならないのでしょうか? このdxが何で積分するかを表すという考えなのでしょうか? ということは、 ・不定積分・・・・・微分の逆操作→∫f(x)dxのdxは何で積分するかを表すための記号 ・定積分・・・・・・総和Σの極限→∫f(x)dxのdxは幅 という解釈で良いのでしょうか? 定積分であれば、面積=Σ(高さ×幅)となるので、∫f(x)dxは理解できます。f(x)が高さでdxが幅。 ※質問内容※ ・不定積分は、∫f(x)=F(x)+Cではダメか。 ダメな場合、なぜダメなのか。 ・∫○dxは一対で考えなければならないのか? ・F(x)の接線の傾きであるf(x)とdxでの面積の総和がなぜ原始関数になるのか? ・不定積分における∫f(x)dxのdxとは”何で積分するか”を表す記号と解釈してよいか? 以上、長々とあほな質問ですがご回答よろしくお願い致しますm(__)m ちなみに、以前私と同様の質問の方がいらっしゃいました。 http://okwave.jp/qa1415099.html
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分と積分の関係がわかりません
微分と積分は逆の計算というのは知ってます。高校の時に習いました。 ただ、なぜこれらが逆の計算になるのかわかりません。 高校の時の教科書を出してきて読み直してみましたが、「微分と積分は逆の関係であり・・」というところから始まっていて原始関数やらなんやらと展開していって、「なぜ微分と積分が逆の計算なのか」というのが分かりません。 なんでも元々は両者はまったく無関係に発展してきて、ニュートンがこの関係を発見したとか・・ これは完全に偶然だったのでしょうか? それとも、よく考えれば当たり前なのをニュートンが発見したということなのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1/cos x、1/(cos x)^2の積分について
1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分を、「微分の逆計算」とする以外に、導く方法はありませんか? というのも、私の使っている教科書では、1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分が「いくつかの関数の不定積分」と称して公式のように書かれています。ふと、それがどのように導かれているのかを知りたくなったんですが、教科書には「微分することで元の関数に成っていることを確認せよ」としか書かれていません。仕方なく微分してみたら確かに元の関数になったんですが、なにかしっくり来ません。 「微分の逆計算」を認めずに、1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分を導く方法があれば、是非知りたいです。 よろしくご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
不定積分と原始関数では意味が明確に違って、 「定積分の積分区間に変数xが含まれて、計算結果がxにより不定になったもの」が不定積分っていう解釈でしょうか。 微分のようにおそらく「不定積分=原始関数」というのは誤用なのでしょうが、 どこまでが容認の範囲なのか、微妙なところですね。 ありがとうございました。