正則行列・張られる空間

質問

A=(1,5,-2,-1),B=(0,2,-4,3),C=(1,1,6,-7),D=(-2,-8,0,5)とおく。(C,D)=(A,B)Pを満たすような正則行列P（基底変換の行列）を求めて、A,Bによって張られるベクトル空間とC,Dによって張られるベクトル空間とが同じであることを示せ！

本の問題にあったのですが、解答が無くて、どのように解けば良いのか見当が付きません。
Pについては逆行列のことですか？

よろしくお願います。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

(C,D)=(A,B)Pを満たすＰについてですが、
C,D,A,Bが単なるスカラー数であれば、意味は分かりますよね？

Ｐのi,j成分をP[ij]と表せば、
C=P[11]A+P[21]B
D=P[21]A+P[22]B
という意味です。

ここでは、A～Ｄはベクトルですが、これと同じだと思って問題ありません。
つまり、
C=P[11]A+P[21]B
D=P[21]A+P[22]B
となるようなP[ij]を求めよ、という事です。

補足

C,D,A,Bが単なるスカラー数であれば、意味は分かりますよね？

すみません。上記の意味が良くつかめません。
もしよければ、具体的にしてもらえませんでしょうか？

回答No.3

eatern27

#2です。

#1の方は間違ってました、とか、書きましたが、間違っていた部分が直っていませんでした・・・。

誤)
D=P[21]A+P[22]B

正)
D=P[12]A+P[22]B

回答No.2

eatern27

#1です。

え～と、スカラー数という表現がまずかったのでしょうか？
まぁ、実数と思ってくれればいいです。

そうすると、(C,D)と(A,B)は1×２行列(or2項横ベクトル)と考えることができます。

なお、(C,D)=(A,B)Pがちゃんと意味を持つには、Ｐは２×２行列でなければなりません。

で、このように考えれば、(C,D)=(A,B)Pは

C=P[11]A+P[21]B
D=P[21]A+P[22]B

という意味になりますよね。(#1で、D=の方は間違ってました。すいません)

実際には、Ａ～Ｄは実数ではなく、ベクトルなんですが、
実数のときと同じ意味だと思えばいい、という事です。