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正則行列の証明問題
問題は「Aがm次正則行列、Dがn次正則行列ならばに二のm×n行列Cに対し次の行列X,Y,Zは正則であることを示せ。またX^-1,Y^-1,Z^-1を求めよ。 X= |A B| |0 D| Y= |A 0| |C D| Z= |B A| |D 0| 」 です。 証明は逆行列を求めて正則行列でないB、Cの逆行列が関与していないことを示すだけでいいですか? 解答がないんで確かめようがなくて困ってます。 よろしくおねがいします。
- newcolleger
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Xについては言ったのでもう繰り返さない Zについて Z^-1= [b a] [d c] とすると [B A][b a] [D 0][d c] = [I 0] [0 I] よって B・b+A・d=I D・b=0 B・a+A・c=0 D・a=I (ただしIはm次のものとn次のものがあるが煩雑なので同じIを使った) これは猿でも解けます a=D^-1 b=0 c=-A^-1・B・D^-1 d=A^-1
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- guuman
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X^-1= [A^-1 -A^-1・B・D^-1] [0 D^-1] Xと掛けると単位行列になるのでXが正則であることが分かる
- tatsumi01
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その方針で結構です。 なお、m≠n ならば B, C の逆行列はありません。B, C が関与しないことは簡単に判りますね。
お礼
回答ありがとうございます。 関与しないことを示すってのはわかったんですが、逆行列の求め方がわからなくなってしました^^; |A B|1 0| |0 D|0 1| を変形すると |A B|1 0| |0 D|0 1|×D^-1 |A B|1 0 | |0 E|0 D^-1| ・・・? 改めてよろしくおねがいします。
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お礼
回答ありがとうございます。 #1さんのお礼 1→E の方が良さそうですね。 スペース入らないんで*入れてます |A B|E 0** |×A^-1 |0 E|0 D^-1| |E BA^-1 |A^-1 0 | |0 E***** |0**** D^-1 | この先がわかりません。 よろしくおねがいします。