- 締切済み
行列の問題で、A^(-1)=PDP^(-1)を満たす正則行列Pと対角行
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
>この問題はAを対角 化するだけではないようなので困っています。 A^(-1) を対角化すればいいんですよね？ 同じではないのですか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
A^(-1)=PDP^(-1) が、D^(-1)={P^(-1)}AP と変形できること に注目しましょう。 A が対角化可能で、かつ、固有値 0 を持たないならば、 A の固有ベクトルを列として並べた行列を P と置けば、 {P^(-1)}AP が対角行列となり、D を求めることができます。 A が対角化可能でなかったり、 対角化可能でも、固有値 0 が在ったりしたら、 A^(-1)=PDP^(-1) という形には変形できません。
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
>その後どうすればよいのでしょうか？ 対角化の方法を知っているから、固有値と固有ベクトルを求めたのではないのですか？
関連するQ&A
- Jordan標準形にするための正則行列Pをも求めるときは，先にJord
Jordan標準形にするための正則行列Pをも求めるときは，先にJordan標準形を求めてから，逆算してPを求めればよいのですか？ 最小多項式の因子の次数（Jordan細胞の最大サイズ）と，それぞれの固有値に対する固有空間の次元（Jordan細胞の個数）がわかれば，Jordan標準形は一意に決まります．それを用いれば，計算する（Jordan標準形を求めるだけ）のはそこまで大変ではありません．さらにこうやって先にJordan標準形がわかってしまえばそこから逆算して J=P^(-1)AP （J：Jordan標準形，P：ある正則行列） となるようなPを求めることが出来ますよね． そこでなんですが，解法としてはこのような手順で問題はないのでしょうか？ 今までやってきたのは，対角化できる場合のみであって，その場合はそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めて，それらを並べたものがPにあたるものでした．つまり先に正則行列を求めた上で対角化していました． しかし上の場合は，先に最終的な形を求めてから，そうなるように正則行列を定めています． なんか順番が逆なので，少し疑問に思いました． 今まで通り，先にPを求めてからJを求めたいのですが，その時のPの求め方がよく分からないのです． Jordan標準形になるような場合では，固有ベクトルの本数がn個（n：Aのサイズ）ないので新しくベクトルを作らなくてはなりません． しかし，固有値の重複度によって色々と置き方が変わってきますよね？ なのでうまい方法が分かりません． 逆算すれば出せるのですが，最初からPを作るのは難しいです． やはり先にJordan標準形の形を決めてから正則行列Pを決めるやりかたでもいいのでしょうか？ よろしくお願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列P
行列A 3 4 5 4 についての問題を解いていたんですが、 分からなくなったので質問します。 まず固有値、固有ベクトルを求めよとなっていて 固有値 8 固有ベクトルは 4 5 固有値 -1 固有ベクトル -1 1 となりました。 それで次の問題で、(P^-1)APが対角行列となるような行列Pを求めよ となっていて P 4 -1 5 1 としました。 p -1 4 1 5 でも同じなんでしょうか？教えてください。 あと、続きで、X^3=Aとなる行列Xを一つみつけよ。 となっているんですが、 2 0 0 -1 と計算したらなりました。あっているでしょうか？ 行列Pの順番をかえるとこの答えも変わってくるのですが…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則行列・張られる空間
A=(1,5,-2,-1),B=(0,2,-4,3),C=(1,1,6,-7),D=(-2,-8,0,5)とおく。(C,D)=(A,B)Pを満たすような正則行列P（基底変換の行列）を求めて、A,Bによって張られるベクトル空間とC,Dによって張られるベクトル空間とが同じであることを示せ！ 本の問題にあったのですが、解答が無くて、どのように解けば良いのか見当が付きません。 Pについては逆行列のことですか？ よろしくお願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則行列Aの固有値、固有ベクトルを求めたいです。
正則行列Aの固有値、固有ベクトルを求めたいですが途中で分からなくなってしまいました。 A = ( 3 2 -2) (-2 -2 1) (1 2 -2) 自分では －（λ^3-λ^２-λ+3) まで計算しましたが、あっているでしょうか？ 固有値が求められません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の問題を教えてください。
行列の問題で解けなくて困っています. よろしければ教えていただけないでしょうか。 行列に関係する以下の問い(1)～(4)に答えよ。 (1)2行2列の行列をAとする。さらにその固有値をλ1，λ2(λ1≠λ2)とし、それぞれに付随する固有ベクトルを(x1，y1)と(x2，y2)とする。 P≡ ｜x1 x2｜ ｜y1 y2｜ と置くと、固有値と固有ベクトルの定義から AP＝P|λ1 0| |0 λ2| と書ける。ここから、 A＝P｜λ1 0｜P^－1 ｜ 0 λ2| および A^ｎ＝P|λ1 0｜^ｎP^-1 |0 λ2| となることを示せ。ここでP^-1はPの逆行列、ｎは正の整数、A^ｎは行列Aのｎ乗を示す。 (2)固有値が1と－1である2行2列の行列Bがある。この行列のｎ乗B^ｎを求めよ。さらにその逆行列(B^ｎ)^－1を求めよ。B^ｎと(B＾ｎ)^－1の両方において、ｎが偶数と奇数で答えが異なるので、両者を区別して答えを示せ。必要なら2つの正則な正方行列B1、B2の積の逆行列が (B1B2)^－1＝B2^－1B1^－1 となることを使え。 (3)固有値が1と－1で、それぞれに付随する固有ベクトルが(2，1)と(1，1)である2行2列の行列Cを求めよ。 (4)xとyを未知数とする次の連立方程式 |3 －4|^21 |x| ＝|10| |2 －3| |y| |7| を解け。ここで |3 －4|^21 |2 －3| は行列 |3 －4| |2 －3| の21乗を表す。 という問題です。 計算過程、解答のほうをどうかよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次に与える行列Aの特性方程式，固有値，固有ベクトルを求めよ。また，それ
次に与える行列Aの特性方程式，固有値，固有ベクトルを求めよ。また，それを用いて，Ｐ^(-1)ＡＰ=Ｄ（対角行列）となる行列Ｐ，Ｄを求めよ。(1)Ａ=（[3,1]，[2,2]），(2)Ａ=([4,2][3,1])，(3)=([3,-5],[2,-3])，(4)Ａ=([0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]) 上記の問題教えてください。一応，特性方程式と，固有値，固有ベクトルを求めることがやってみたのですが，特に(4)番が自信がないので，この３つについては，答え合わせをしたいので，答えを教えてもらえたらと思います。 また，Ｐ，Ｄを求めるのはやり方が分からないので詳細を教えていただきたいのです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対角化可能と固有ベクトル
Ｐの逆行列をＰ^(-1)とします。このとき、P^(-1)ＡＰ＝Ｄ（対角行列）を満たす正則行列Ｐを具体的に与え、P^(-1)ＡＰが何になるかを示しつつ、Ｐが正則行列になる理由、P^(-1)ＡＰがそのような形になる理由を説明し、 以上の点を踏まえ、n次正方行列Ａがn個の線形独立な固有ベクトル a_1,・・・・a_n（固有値はp1,・・,pn）を持てば、Ａは正則行列により対角化可能であることの証明です。 上記証明なのですが、どう進めていけばいいのかわかりません。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
単に対角化ならA=p^(-1)APを使うのはわかるのですが、この問題はAを対角化するだけではないようなので困っています。固有値とベクトルを使うのではないかと思い、いちよう計算してみました。