時計の長針が短針に重なり、更に追い越すのはなぜ？

質問

変な質問かもしれませんが、ふと思ってしまったので質問させてください。

時計でなくとも良いのですが、一番聞きやすいと思いこれを例にとりました。

長針と短針、角度で表す事ができますよね。長針がだんだん短針に近づいてくると、角度もだんだん少なくなってきます。そして、１１時５９分辺りでしょうか、角度も１度位になります。　そして時計は進み、針は更に狭まり、１度の次は０．９度になり、更に０．１度になると次は０．０９度、、、そして、数字は無限ですから、永遠にこれを繰り返していってしまい、いつになっても角度０ゼロにならないのではないかと心配してしまいます。　しかし、何事もなく次の瞬間には時計の針はカチっと重なり、その後長針が短針を追い抜いていきます。

また別の表現方法で、例えば、普通の時計で針が重なって見えてしまう程の角度の狭さでも針を十分延長すれば先の方では大きく離れてる事でしょうし、その先の方までも重なる位の角度の狭さになっても更に宇宙規模の数万光年の長さになる針ほどに延長すれば、今尚延長された先の方は大きく離れているだろうと思いますし、（これを繰り返せば永遠に針は重ならないようで心配です）

なぜでしょうか、説明がわかりづらかったかもしれませんが、解る方いましたら教えてください。

回答No.7

apple-man · ベストアンサー

＞度の次は０．９度になり、更に０．１度になると次は０．０９度、、、そして、数字は無限ですから、永遠にこれを繰り返していってしまい、いつになっても角度０ゼロにならないのではないかと心配してしまいます。　

　ご質問の内容は、数学の世界で有名な
無限集合、連続体仮説と呼ばれる問題の
基本的なもので、完全には証明されて
いないばかりか、この問題に取り組んだ
数学者たちはみな精神病院行きになって
しまったことで有名です。

　全体を１０で割って数字の集合を作るといった
操作を考えるとゼロから１まで０．１、０．２・・・と
１０個の数字の集合あることになる。
同様に〇から０．１までの間にも１０個の
数字の集合が考えられ・・・

　こういった感じで帰納法的に考えて
いくと０から１の間に無限の数字の集合が
あることになる。

　〇から１までは連続した数直線で
考えられますが、そこには無限の
数字があるということになる。

　この問題、１９世紀から２０世紀の
初頭にかけて、ゲオルグ・カントール、
ゲーテル、コーエンといった優秀な
数学者たちが挑戦したことで有名ですが、
はまり過ぎるとみな頭がおかしくなって
しまうようです。

　数学のカテゴリーで、無限集合か
連続体仮説と関係あると聞いたのですが、
と付け加えて質問し直すと、もっと
分かりやすい説明が聞けるかもしれません。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
無限集合と連続体仮説というのを調べてまいりましたが、専門的なお話になっていてちょっと私には難しいかなという印象です。　又、おっしゃる通り数学カテに行くべきだったかもしれませんでした。　すいません。
＞完全には証明されていないばかりか、この問題に取り組んだ数学者たちはみな精神病院行きになってしまったことで有名です。　
とのご回答が一番よく解りました。
そうなんですよね。　そもそも話を突き詰めれば、時計の針や、アキレスがカメに追いつくか否か以前に、万物全てが動けなくなってしまいますよね。　しかし実際はそうではない。　それを突き詰めると頭がおかしくなってしまうのもうなずけます。

回答No.6

potta_2004

カキコしている間に、２名の方がお答えになっていました。
アルキメデスでは、なくアキレスが一般的のようで、勉強になりました。でも、インターネットで検索してもアルキメデスでも出るんですね？
アキレスってアキレス腱のアキレスのことだと思うので、確か走るのが速い人だったと思います。で、アキレスの方が正しいと思いますので、訂正を！！

失礼しました。

お礼

アキレスとは映画“トロイ”でブラッド・ピットが演じた役どころでしたよね。　その映画はブラピとカメの追いかけっこの話だったんですね！

回答No.5

ysk6406

これは、昔の有名な「アキレスは亀に追いつけない」という話と同じではないでしょうか？

参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/iromono/kougi/timespace/node54.html

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
参照URLを覗いてまいりました。　お話になっている内容は少し難しくて解らなかったのですが、図の中のアキレスさん？の首が切れてしまってましたよ。　と、ちょっと突っ込まさせて頂きました。

回答No.4

edomin

２本の針だと考えづらい（両方とも動いている）ので秒針だけで、考えてみましょう。

今、秒針はちょうど０に有ったとします。
その０．５秒後（1/2秒後）には、１秒の目盛の半分の位置まで進んでいます。
さらに、その０．２５秒後（1/4秒後）には、０．５秒後と１秒の目盛の半分の位置まで進んでいます。（０．７５秒）
さらに、その０．１２５秒後（1/8秒後）には、０．７５秒と１秒の目盛の半分の位置に進んでいます。
これを永遠に繰り返すと、秒針は１秒の目盛に到達しないように考えることが出来ます。

しかし、時間の合計（1/2+1/4+1/8+1/16+1/32・・・）はいくつになるのでしょう？
結果は、いくら足していっても１には成りません。
そのため、「１秒未満の時間で１秒の目盛の所まで進むことは出来ない。」と言う結論になります。
時間の合計が１秒を越えることがあるなら、永遠に到達できないと言うことになるんでしょうね。

こんなんで、判ります？

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
う～ん、少しこんがらがってしまいました。
＞時間の合計が一秒を超える事があるなら、永遠に到達できない　
一秒の目盛りに到達する前に、合計が一秒を超えていたら、ということでしょうか？

回答No.3

potta_2004

私も、長針と短針の話は聞いたことがありますが、アルキメデスと亀の話の方が有名なのでインターネットで検索してみては？
確か？歩いてる獲物には、永遠に矢は刺さらないってのもあったかと？どれも同じことを言っています。

参考URL：

http://plaza.rakuten.co.jp/harunohon/diary/200410120000/

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
ご紹介いただいたサイトには、「すっかり騙されている！」、とその真相を知りたくなるような文句の後に色々解決しそうな本などのご紹介がありまして、早速本屋さんに駆け込みたくなりました。　でも、その道中に私よりも遅く歩いている人がいたらはたして私はその人に追いつき追い越す事ができるのか心配になってしまいました。　自前でパラドックスを体験すれば見事解決するかも？（無理っ　　　　
よく考えると、なにも追い抜く必要もないですね。

回答No.2

shinkun0114

有名な「アキレスと亀」のパラドックスですね。
　アキレスを長針に、亀を短針に置き換えると、質問者さんのテーマと重なります。

　これについては、いろいろな考察が出ていますので、
「アキレスと亀」をキーワードに検索をしてみるとよいでしょう。
　↓は一例です。

参考URL：

http://www.infonia.ne.jp/~l-cosmos/relativity/zeno/ZenoParadox.html

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
ご紹介いただいたサイトを覗いてまいりました。　その中に「今なお論じられている」や、「論理のみによっては解決不能、これは観測に依存する」などとありちょっと私の出番ではないなという事がわかりました。　「無限」とはこれまた困った概念を見つけてしまったものですね。

回答No.1

silpheed7

単位時間内に移動する角度は一定なので必ず追い越します。

参考URL：

http://www2.tokai.or.jp/works3310/column/column03.html

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
アキレスとカメの話というのがあったことは知りませんでした。　有名な話との事ですが、有名な話を知らなかった自分って、、、？　またまた世間知らずを暴露してしまいました。　アキレスもアキレス筋と名を冠されたり、カメと追いかけっこされられたりと忙しい身分ですね。