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一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方

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お礼率 37% (23/62)

1辺aの立方体に質量mの内部構造のないNコの同種粒子からなる気体がある。
一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
E=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a)
hはプランク定数。nx,ny,nzは自然数。

という問題で
「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」
というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか?教えてください(泣
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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
すなわち,縮退度は3.

2番目の励起状態は,nx,ny,nz のうち2つが2,残り1つが1というやつで,
これも3通りの可能性があるから,縮退度は3.

つまり,エネルギーを決めると,nx^2 + ny^2 + nz^2 が決まるので,
これに対応する nx,ny,nz の選び方の数が縮退度です.
一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと
複雑そうです.

幾何学的には,nx,ny,nz の3次元空間で,球の半径 nx^2 + ny^2 + nz^2 を
決めたとき,その球面が通る格子点の数はいくつか,と言う問題になっています.

通常は,a が十分大きいとして,エネルギーの連続極限をとってしまいますが,
そこらあたりまで要求されているんでしょうか?

それから,もし粒子が電子だとすると,nx,ny,nz を指定しても,
その他にスピンの自由度2があります.
スピンまで考慮すれば,縮退度は上の計算の2倍になります.
お礼コメント
yamikuro2001

お礼率 37% (23/62)

どうもsiegmundさん。ほんと毎度お世話になります。
そうです、例の先生です(苦笑)

問題をよく見ると「基底状態と第一励起状態のみを考慮すれば十分であるとする」
という断り書きがありました。
小問集合のうちの一つなのでそんなに深く考えないでよいみたいです。

助かりました。ありがとうございましたっ。
投稿日時 - 2001-07-18 01:04:59
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