無限に深い井戸型ポテンシャルと粒子の運動
- ２次元と１次元の無限に深い井戸型ポテンシャルについての質問です。エネルギー固有値や基底状態、励起状態について知りたいです。
- ２次元の無限に深い井戸型ポテンシャルでは、エネルギー固有値をＨ、π、ｍ、Ｌで表すことができます。また、第４励起状態のエネルギー固有値を求めることもできます。
- １次元の無限に深い井戸型ポテンシャルでは、エネルギー固有関数を使用して粒子の運動を記述します。第１励起状態にある粒子を特定の範囲で観測する確率を計算することができます。
- ベストアンサー
箱型(井戸型)ポテンシャル
このような問題なのですが、教えて下さい。 問１ ２次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中の粒子運動を考える。 ２Ｌ│＿ │ │ │ │ │＿│＿＿ｘ Ｌ 【Ｈ：エイチバーの意】 Ｈ^2π^2 ｎy^2 エネルギー固有値は Ｅ＝――――――（ｎx^2＋――――） ２ｍＬ^2 ４ （ｎx＝１，２，３・・・）、（ｎy＝１，２，３、・・・） (１)基底状態のエネルギー固有地をＨ、π、ｍ、Ｌで表せ。 (２)第４励起状態(５番目)のエネルギー固有値をＨ、π、ｍ、Ｌで表し、 それを与えるｎxとｎyの組み合わせを全て求めよ。 問２ １次元の無限に深い井戸型ポテンシャルの中の粒子運動を考える。 エネルギー固有関数はφ(x)＝√(２/L)・sin(ｎπｘ/Ｌ)である。 Ｌ＝１.０×１０^-10ｍ として、第１励起状態にある粒子を、 ｘ＝０とｘ＝０.２５×１０^-10ｍの間に観測する確率を計算せよ。
- powerless
- お礼率14% (10/70)
- 物理学
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
要するに，{nx^2 + ny^2/4} を順に並べるだけでしょう？ nx^2 = 1, 4, 9, ... ny^2/4 = 1/4, 1, 9/4, 4, ... だから， 一番低い(基底状態)のは，1, 1/4 の組み合わせで {nx^2 + ny^2/4} = 5/4 第１励起状態は，1, 1 で {nx^2 + ny^2/4} = 2 第２励起状態は，1, 9/4 で，... 以下同様です． 問１の(1)，{nx^2 + ny^2/4} のところはＯＫですが， 前の係数は大丈夫？
その他の回答 (1)
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
なんだかレポート問題みたいですし， 量子力学の典型的な演習問題なので，ヒントだけ． 《問１》 要するに， エネルギーは {nx^2 + ny^2/4} に比例しているのですよね． じゃあ， {nx^2 + ny^2/4} が低い順に並べてみたら？ 《問２》 粒子の存在確率密度は |ψ|^2 でしたね．
関連するQ&A
- 井戸型ポテンシャルの外側のエネルギー固有値?
無限に深い井戸型ポテンシャルの問題について質問です。 例えばポテンシャルが -L<=x<=L で0 その他がポテンシャル無限 とした時，井戸の外(x<=-L，L<=X)では波動関数は0となるのは理解できるのですが(ポテンシャル無限では粒子は存在できないから)， このときのエネルギー固有値はどうなるんでしょうか? シュレーディンガー方程式を考えると (-h^2/2m∇^2+V)ψ=Eψ (V:ポテンシャル) で，ψ=0だから両片は恒等的に0ですよね? その場合エネルギー固有値って求まらないんでしょうか? (粒子が存在しないんだからエネルギー固有値だって0になるんじゃないかとも思うのですが...) よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 再び井戸型ポテンシャル…
すみません、再びなのですが、今度は２次元井戸方ポテンシャル（0<x<L,V=0 x<0,x>L,V=∞）の問題で、固有エネルギーEiがEcより小さなすべての固有状態の数N（E)を求めよという問題なのですが、今度はN（E)が円の面積（Nx,Ny座標での)になっているというイメージがどうもよくわかりません…。なぜそうなるのでしょうか？教えていただけませんか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 無限に深い井戸型ポテンシャルについて
無限に深い井戸型ポテンシャルについて、GaNの層厚d=0.5nm、伝導帯電子の有効質量me=0.2m0の とき (1)基底状態、第一励起状態および第二励起状態のエネルギー固有値E1,E2,E3をeVの単位であらわすとどうなるのですか？ (2)GaNの伝導帯の3次元状態密度および、この問題のような2次元の状態密度を計算した場合の状態密度とエネルギーの関係はどうなるのでしょうか？ 自分で勉強してみたものの、無限に深い井戸型ポテンシャルだけは良くわかりません。どなたか教えていただけるとさいわいです。
- ベストアンサー
- 物理学
- 井戸型：シュレーディンガー
井戸型ポテンシャルの問題です。 どうも数学的な計算が苦手なものでして・・・。 できれば詳しくお願い致します。 ポテンシャル Ｕ(x,y)＝０、０≦ｘ≦Ｌ、０≦ｙ≦Ｌ Ｕ(x,y)＝∞、それ以外 無限に深い井戸型ポテンシャル内の粒子運動を考える。 井戸内でのシュレーディンガー方程式は 【エッチバー：H とする】 －H^2／２ｍ{∂^2φ(x,y)／∂x^2 ＋ ∂^2φ(x,y)／∂y^2}＋Ｕ(x,y)φ(x,y)＝Ｅφ(x,y) である。固有関数は φ(x,y)＝Ａ・ｓｉｎ(ａπx／Ｌ)ｓｉｎ(ｂπx／Ｌ)、（ａ,ｂ＝１,2,3,・・・）とする。 問１ 基底状態（ａ＝１、ｂ＝１）のエネルギー固有値を計算せよ。 問２ 基底状態の固有関数を用いて、規格化条件からＡを求めよ。
- ベストアンサー
- 物理学
- 井戸型ポテンシャルについて
１次元井戸方ポテンシャル（0<x<L,V=0 x<0,x>L,V=∞）の問題で、固有エネルギーEiがEcより小さなすべての固有状態の数N（E)を求めよという問題があるのです。が、調べたところ、これを解くためにはまずこの問題での固有エネルギーを出して、Ei<Ecを満たす最大のEiをEとして、n=N(E)として、エネルギー固有値の式から出せばいいみたいなのですが、これでは全てではなく、Ei=Eとなる時のnの値しか出ないような気がするのですが…。N（E)はEi<Ecを満たすnの総和じゃないのですか？どなたか教えてください。かなり困ってます。
- ベストアンサー
- 物理学
- １次元の井戸型ポテンシャル
以下のような１次元の井戸型ポテンシャル V(x)＝０ （－L＜ｘ＜L) ＝V （ｘ＜－L, ｘ＞L) ただし ０＜E<V 中の質量ｍの粒子について・・・・ この問題でグラフの交点を求めることによって、固有値が求められますが単純な計算では出せません。よって、以下のような課題を出されました。 上の問題で適当なVとLについて、固有値をニュートン法などの簡単なプログラムを組んで、数値的に計算して求めよ。また、そのときの固有関数を求めてプロットせよ。 以上の問題なのですが、簡単なヒントなのでよろしいので分かる方がいたら教えてください。お忙しい中ありがとうございました。
- 締切済み
- 物理学
- 三次元の井戸型ポテンシャルについて
量子力学の質問です。 三次元の井戸型ポテンシャル(一辺Lの立方体)についてなのですが、 （I）箱の端の波動関数を0とする条件 つまりψ(L,y,z,)=ψ(x,L,z,)=ψ(x,y,L)=0 のとき （II）周期的境界条件を条件にした場合 つまりψ(x,y,z,)=ψ(x+L,y,z,)=ψ(x,y+L,z)=ψ(x,y,z+L) という条件のとき とでエネルギー固有値を求めました。 すると（I）は E=h^2/(8πm)・(π/L)^2・{(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2} ただしn_x,y,zは0を含まない自然数。 （II）は E=h^2/(8πm)・(2π/L)^2・{(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2} ただしn_x,y,z=0,±1,±2... となりました。明らかに(I)と（II）ではエネルギー固有値がちがってきます。 これはなぜなのでしょうか？ このほかのフェルミ波数等は同じ値をとるのにエネルギー固有値だけちがうというのはいいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 無限に深い井戸型ポテンシャルについて
「ブタジエンの炭素原子の配列を一直線と近似して、両端の炭素原子間の距離L=5.78Åとすると、4個の炭素原子が無限に深い井戸型ポテンシャルを形成していると考えるとき、ブタジエンの基底状態のエネルギーE1を求めよ。4個のΠ電子間の斥力は無視できて、各々が自由電子として振舞うとする。」 以上の様な問題を考えるときにおいて、 エネルギー固有値E= h'^2*Π^2*n^2 /2*m*Lに代入して求めると思うのですが、(h'=h/2Π m=静止した電子の質量) 計算する際にLについてのどのように考えれば良いかがわかりません。私はL/4orLor4Lいずれも計算してみたのですが、どうも合いません^^; どう解釈すれば良いと思われますか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 井戸型ポテンシャル（JJサクライ）
JJサクライ下巻のp397(5.1.15) 摂動論ではないのですが、 さらりと触れられている箇所が納得できずにモヤモヤしています。 非常に弱い一次元の井戸型ポテンシャルを考えます。 V=-V0 (|x| < a) V=0 (|x| > a) λ>0 の引力に対して E = - (2ma^2)/h^2 |λV0|^2 というようなエネルギーの束縛状態がある。 (ここでhはh/2πの意味です) このエネルギーの式はどのように導いたのでしょうか。 単純な井戸型ポテンシャルでもなさそうですし、 トンネル効果と比較してもよく分かりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
補足
[量子力学の典型的な演習問題]と言われたので きっと的確なヒントなのでしょう。 はい、確かにレポート問題なのですが、 なにぶん予習代わりに出題されているものですから 教科書を見て方針は判っても計算が出来ないのです。 積分計算苦手なもので・・・。 問１の(1)はこれでしょうか？ Ｅ＝Ｈ・π^2／ｍＬ ・(５/４) (2)は良くわからないのですが。