- ベストアンサー
難解な積分の問題
私は工学部の院生です。 次の定積分が解けなくて困っています。 ∫γsin(2nx)dx [積分範囲:0→π/2](n:自然数) ただし、γは γ=Arccos((-3sinxcosx)/(1+3(cosx)^2)^0.5) である。(または,γは γ=Arcsin((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5) と表すこともできる) どなたかこの難解な積分を解いてください。完全に解けなくても、こうゆうふうにすれば出来るんじゃないか、というアドバイスだけでも結構です。よろしくお願いいたします。
- ichiro0000
- お礼率46% (44/94)
- 物理学
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
下記URLの人と同じ人?
関連するQ&A
- 積分の問題です。
積分の問題です。 下では積分区間をaからbなら∫[a,b]、絶対値を|a|、累乗をa^xとしています。 見辛くて申し訳ないです。 問 lim[n→∞]∫[0,π]x^2|sin(nx)|dxを求めよ 私の解答を書くので、どこが間違っていてるのか、どうすべき教えてもらえないでしょうか? 解) nx=kπとなるとき、|sin(nx)|=0 ∴X(k)=kπ/n (k=1,2,…,n)とすると、 ∫[0,π]x^2|sin(nx)|dx =Σ[k=1,n]∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx と表せる ここで、X(k-1)≦X≦X(k)において、 {X(k-1)}^2≦X^2≦{X(k)}^2 より、各辺に|sin(nx)|をかけて {X(k-1)}^2|sin(nx)|≦X^2|sin(nx)|≦{X(k)}^2|sin(nx)| また、|sin(nx)|の周期性より、 ∫[X(k-1),X(k)]|sin(nx)|dx =∫[0,π/n]sin(nx)dx =[0,π][-cos(nx)/n] =2/n さらに、ここでy=|sin(nx)|x^2 のグラフを考えて 面積で不等式を作ります。 本来は図示していますが、ここでは式のみを書きます。 {π{X(k-1)}^2}/n <∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx <{π{X(k)}^2}/n ∴Σ[k=1,n-1]{π{X(k-1)}^2}/n <Σ[k=1,n]∫[X(k-1),X(k)]x^2|sin(nx)|dx <Σ[k=1,n]{π{X(k)}^2}/n 上の不等式の左側を計算すると、 {(1-1/n)(1+1/n+1/n^2)π^3}/3 nを∞に飛ばすと (π^3)/3 右側も同じになるので(実際は計算していますが省略します) はさみうちの原理より (与式)=(π^3)/3 これが私の解答なのですが、実際は(2π^2)/3になるのです。 どうかよろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分の問題
不定積分の問題です。mを自然数とするとき、 n (1)∫(cosx)^(2m-1)dx=Σa(k)(sinx)^k+C k=1 (Cは積分定数) (a(k)のkは添え字です。) を満たす自然数nおよび実数a(k)(k=1,2,…,n)を求めよ。 (2)f(t)を多項式とするとき、 ∫f(cosx)dx-∫f(-cosx)dx=g(sinx)+C (Cは積分定数) を満たす多項式g(t)が存在することを示せ。 という問題です。 (1)はn=2m-1 a(k)=0(k=2.4.…n-1) (k=1,3,…n)のときは式が複雑なので記載するのは控えます。 分からないのは(2)で解答には n f(t)=Σb(k)t^k とおけるので、n=2L-1とおくと k=0 L f(t)-f(-t)=Σ2b(2m-1)t^(2m-1) m=1 となっているんですが、なぜ n=2L-1とおくのか、f(t)-f(-t)の右辺のΣのmが1→L なのかがわかりません。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の積分について
∫sin^2(x)cos(nx)dx n=0,1,2,3・・・ ∫sin^2(x)cos(nx)dx n=0,1,2,3・・・ 積分区間は0~2π という問題なのですが、どうやったらいいかまったくわかりません。 よかったら指針などでもよいのでご教授お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ガウス積分2
昨日も質問したのですが、進展があったので改めて質問させていただきます。 範囲が以下 [k,∞) (k>0) になるガウス積分を求めようと思い、次のように計算してみました。 I = ∫exp(-ax^2)dx I^2 = ∬rexp(-ar^2)drdθ ここまでは定石どおりです。 積分範囲は、x>k y>k の領域になるので、 r>k arccos(k/r)>θ>arcsin(k/r) よって、 I^2 = ∫[k→∞]rexp(-ar^2)dr ∫[arccos(k/r)→arcsin(k/r)]dθ = ∫r{ arccos(k/r)-arcsin(k/r) }exp(-ar^2)dr 部分積分してまとめる。 = (-1/4a){ πexp(-ak^2) + 4∫[k→∞] exp(-ar^2)dr/√(1-r^2) } もう一息で計算できそうなのですが、最後の積分方法が思いつきません。分かる方居りましたら、宜しくお願いします。 又、工科系で数学には疎いので、計算ミスなのどのお叱りも是非お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題です。教えてください。
積分の問題です。教えてください。 ∫(x+2)e^(x^2+4x)dx ∫(cos^3xsinx+sin^2xcosx)dx ∫x^2(cosx+e^x)dx よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
補足
違います。