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積分
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- ryn
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偶関数，奇関数あたりに注目すれば 被積分関数が簡単になります．
- sonetea
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すみません。 π/nごとに正負が変化しますね。 f(x) = (1 + x + x^2) sin(nx) とすると、 nが奇数のとき lim(n→∞) { Σ(k=-n, k=(n-1)/2) { -∫(2kπ/n, (2k+1)π/n) f(x)dx +∫((2k+1)π/n, (2k+2)π/n) f(x)dx } } nが偶数のとき lim(n→∞) { Σ(k=-n, k=(n-1)/2) { +∫(2kπ/n, (2k+1)π/n) f(x)dx -∫((2k+1)π/n, (2k+2)π/n) f(x)dx } } これで計算できそうな気がします。 Σの中はkの2次式ですし、不可能ではなさそうなんですが、 あまりにも計算が複雑になるので、別な形に簡略化できたり、 全く別の解法があると思います。 力になれなくてすみません。 解法を思いついたら、また書き込みます。
- sonetea
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∫sin(nx)dx = -cos(nx)/n です。 sin'(x) = cos(x), cos'(x) = -sin(x) ですしね。
補足
そうなんですけど、絶対値がつくとπ/nごとに符号が変わって、数列の和のように解いてみてもなかなか答えが合わないんです。
- sonetea
- ベストアンサー率26% (9/34)
> 部分積分で解こうとしたのですがうまくいかなくて・・・ どううまくいかないのですか？ 部分積分を使うのはあってると思います。 この問題の場合、-π～0, 0～πに分けて絶対値を外した方がわかりやすいかもしれません。 部分積分において、 ∫f'(x)g(x)dx = [f(x)dx g(x)] - ∫f(x)g'(x)dx f'(x) = sin(nx) g(x) = 1 + x + x^2 とおけば解けそうな気がします。
補足
sin(nx)の不定積分の求め方がわからないんです・・
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