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整数問題
applydisappearの回答
- applydisappear
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とりあえず、5^x-5=3^y-3となります。 右辺は3の倍数、左辺は5の倍数となり、これらがイコールでつながっているので、両辺0か15の倍数でなければいけません。 5^x-5=3^y-3=15k-15とおけます。(kは1以上) これを2つの式に分けてみます。 5^x=15k-10 3^y=15k-12 となります。 さて、5^x=5(3k-2)となりますが、左辺は素因数が5^pの形になります。つまりは右辺もそうならないといけません。 3k-2も1か5^qの形となる必要があります。 ここで、3k-2が5の倍数となる条件を考えると、(これは質問者様には簡単だと思うので、過程を省略します)kが10m-6と表される必要があります。3k-2=3(10m-6)-2=30m-20となります。この形を見ると、偶数です。つまり素因数に2が入ります。となると、3k-2は5^qの形で表されません。つまり、3k-2は1である必要がある。つまりk=1 ということで、5^x-5=3^y-3=15-15=0となるので、x=y=1しかないわけです。 (説明が誤っていたら、ご指摘願います。)
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補足
別にk=5m-6でも5の倍数にはなりますよね? 3k-2=3(5m-6)-2=15m-20となりますけど