3の倍数である確率

質問

以下は同じ事柄を問題にしていますが、結果が違います。どちらも正しく思えるのですが、どちらが正しくて、どこが間違っていると思いますか？

問題1.
自然数の中から1つ数を選んでそれが3の倍数である確率は1/3。
理由:
自然数は [A]3の倍数 [B]3で割って余りが1 [C]3で割って余りが2 の3グル－プに分かれ、それぞれのグループ内の数字を+1すれば、他グループと同じになるため各グループの要素は同じ数だけある。よってAグループが選ばれる確率は1/3。

問題2.
箱の中に無限個の白黒2種類のボールが入っていて、白には3の倍数が、黒には3の倍数以外の番号がついている。また全てのボールには欠番、重複なく番号がついている。箱の中はこんな感じ。
黒1,黒2,白3,黒4,黒5,白6,・・・
箱から1個ボールを取り出した時、それが白である確率は1/2。
理由:
白黒のボールを増減させることなく、新たに別の番号を付ける。
黒1 → 1,　白3 → 1,
黒2 → 2,　白6 → 2,
黒4 → 3,　白9 → 3,
黒5 → 4,　白12 → 4,
: :
このように番号を付けると黒と白は同じ集合であることが分かる。そのため白である確率は1/2。

考えるヒントとなる発想や気づきだけでも構わないので、思いついた事を教えて下さい。

回答No.6

ddtddtddt

前の質問で［A案］に賛成したものです。

　まず正規分布の例をあげます。正規分布は、場合の数が無限にある時の典型的なツールです（添付図）。正規分布は、ある値の測定などを行ったときに、どのように測定値がバラツクかを表す理論モデルです。図の横軸は現れ得る測定値で、範囲は－∞～＋∞になります。縦軸の意味としては測定値の出現頻度と考えてOKです。測定値はバラツキますが、測定値の平均の出現頻度が最も大きいので、それを真値と考えて良いだろうという一般論の根拠になっているモデルです。

　ところで測定した時、ある値x＝x0にまぐれ当たりする（ヒットする）確率を考えてみます。xは－∞＜x＜＋∞と無限個ありますから、x＝x0というたった1個の値に当たる確率は、1/∞＝0です（← これは数学的に許される）。しかしx0を含むある区間x1≦x≦x2（x1≦x0≦x2，x1≠x2）のどれかの値に当たる確率は0ではないはずです。もし0なら、いかなる測定値も測定できないという事になりますから。そこで確率密度という考えが出てきます。図の縦軸が出現頻度ではなく「確率密度」となっているのは、そういう理由です。従って青ラインで描いた正規分布のグラフの面積は、－∞～＋∞の範囲で積分すると1になります。

　正規分布を少し観察しましょう。区間x1≦x≦x2（x1≠x2）の中には無限個の値が含まれます。確率密度は面積をとれば確率です。よって区間x1≦x≦x2上の確率密度グラフの面積は、その区間含まれる無限個の値のどれかに測定値がヒットする確率です。この確率は区間幅 x2－x1が小さくなるほど0に近づきます。
　この意味は2つの極端な例を考えれば、なんとなくわかります。まず区間幅を－∞＜x＜＋∞とすれば、必ずなんらかの値をとる測定値のケースを全て尽くので確率1です。区間幅を小さくすればハズレが多くなるので、確率は減少します。その最終形態（？）としてx1＝x2（＝x0）の場合を考えれば、1/∞＝0で確率0です。これが現実の正しい反映ではないかというのが、確率密度の考えです。

　あなたの例題に戻って、特定の3の倍数、例えば9にヒットする確率を考えます。自然数は無限個ありますから確率はさっきと同じで、1/∞＝0です。ここで無限個ある3の倍数、3，6，9，・・・のどれかに当たる確率は？、と考えるわけです。その確率が0なら3の倍数にはヒットできないので、自然数の中に3の倍数がない事になります。不合理です。つまり場合の数として3の倍数の個数を∞'として、∞'/∞≠0と考えざる得ないわけですが、他の皆さんも書かれているように、無限／無限の計算は数学的には許可できません。
　ところでさっきの区間x1≦x≦x2の中にも無限個の値がありました。可能な測定値の全個数は－∞＜x＜＋∞なので、当然無限個です。測定値が区間x1≦x≦x2のどれかに当たる確率というのは、結局∞'/∞に対応するものだというイメージはわきませんか？(^^;)。確率密度のモデルは、∞'/∞の計算を妥当に回避する手段だと自分は思います。つまり場合の数が無限の場合、適切な確率密度のモデルを建てる必要がある・・・。
　まぁ～、添付図の横軸を数直線にとりかえて（既にそうですが(^^;)）、自然数の数直線上にわかりやすく確率密度関数を描ければよかったのですが、その場合、正規分布のような連続型の確率密度関数にならないので、自分には無理です。

　でも一般的な指導原理（？）ならちょっと言えます。それは無限集合は必ず有限部分集合を含むという事実です。無限集合の中から有限集合を取り出した時、そこで起こる全ての事は現実と一致しなければなりません。これは無限集合論の暗黙の縛りです。今の場合なら自然数を300個含む数直線上の区間として有限集合を取り出します。例えば{100，101，102，103，・・・，299}。これに3の倍数には赤、それ以外には青のボールを割り当てます。自然数の数直線上ですから、規則正しく{青，青，赤，青，青，赤，・・・，青}とボールが並ぶはずです
　そこから赤のボールを取り出せる確率は、明らかに1/3。数直線上のどの300個の有限集合を取り出しても、青，青，赤，青，青，赤，・・・の順序が循環するだけで同じ。かつ、無限集合の中から有限集合を取り出した時、そこで起こる全ての事は現実と一致しなければならないので、数直線上で3の倍数にヒットする確率は1/3。

　・・・なのかな？(^^;)。

　ところでコロモゴロフの確率論に詳しい方がいらっしゃったら・・・、そこではこういうのを、どういう風に扱ってるんですか？。

お礼

ありがとうございます。
・母数が無限になる場合の確率算出にはグラフ(確率密度)を使う方法がある。しかし今回はグラフ化は無理そう。
・有限個の部分集合で確率を考える方法があるかも。
とのご指摘ですね。
無限の場合の確率ってどう定義されるのだろうと疑問だったのですが、確率密度って考えがあるのですね。面白いです。適応可能なケースとそうでないケースがありそうですね。
また、有限個の部分集合で考える方法は別の質問でも回答があったのですが、部分集合は無作為に抽出されることが必要で、それは出来ないのかな、と思いました。
{1，2，3，・・・,100}
{101，102，・・・,200}
：
のような連続する自然数の部分集合なら確率1/3ですが、
{1，2，3，6}
{4， 5，9，12}
{7，8，15，18}
：
のような部分集合にすれば確率は1/2になりますから。
どちらも作為的に部分集合を作っているので元の無限集合の確率とは
言い難い気がしました。

無限の確率をどう定義するのか。グラフ（確率密度）を使う以外の
別の方法があれば面白いです。