tinantum の回答履歴

内積空間についての命題の証明についてです。 [命題]Vをn次元内積空間とする。 線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0 を示しています。 fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V) tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると x=Σ[i=1..n]c_iv_i y=Σ[i=1..n]d_iv_i (c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n)) f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という) <f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i> =<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>(∵fは線形写像) <x,f(y)>=<Σ[i=1..n]c_iv_i,f(Σ[i=1..n]d_iv_i)> =<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>(∵fは線形写像) で仮定より <Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i> = <Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)> と書ける。。。 からどのようにして証明してけばいいのでしょうか?

現在Mathematicaを使って交通のシュミレーションをしているのですが、思ったようにループ文が作れずに悩んでいます。 もし条件式が１から４まであったとして、その条件式を毎回ループさせると考えたらどういった式を作ればよいでしょうか？ ↓ちなみに条件式です。これを50回ループさせようと考えています。 road = Table[0, {2}, {54}]; road[[1, 1]] = 0; road[[2, 1]] = 0; road[[1, 2]] = 0; road[[2, 2]] = 0; road[[1, 53]] = 0; road[[2, 53]] = 0; road[[1, 54]] = 0; road[[2, 54]] = 0; road[[1, 3]] = a; road[[2, 3]] = b; If[0.5 < Random[], a = 1, a = 0]; If[0.5 < Random[], b = 1, b = 0];

現在Mathematicaを使って交通のシュミレーションをしているのですが、思ったようにループ文が作れずに悩んでいます。 もし条件式が１から４まであったとして、その条件式を毎回ループさせると考えたらどういった式を作ればよいでしょうか？ ↓ちなみに条件式です。これを50回ループさせようと考えています。 road = Table[0, {2}, {54}]; road[[1, 1]] = 0; road[[2, 1]] = 0; road[[1, 2]] = 0; road[[2, 2]] = 0; road[[1, 53]] = 0; road[[2, 53]] = 0; road[[1, 54]] = 0; road[[2, 54]] = 0; road[[1, 3]] = a; road[[2, 3]] = b; If[0.5 < Random[], a = 1, a = 0]; If[0.5 < Random[], b = 1, b = 0];

僕は集合とかの問題が苦手なため、担当教官にいくつか基礎問題を出してもらって考えていたんですが・・・ 教官が答えをくれないので正しい答え(考え方を含む)がよく分からないんです。 問題数も多いんで重要だと指摘された4問を教えていただけるとうれしいです。 1つでもいいんでどうかよろしくお願いします。 1．任意の有限集合A、Bに対して、 　集合A～B⇔AからBへの全単射が存在するとする。 　 このとき～は同値関係である事を示せ。 　（記号～の意味はAからBへの全単射が存在するという定義らしいです。） 2. 集合A,Bに対して 　A≦B⇔A⊆B 　 とする。 　（1）≦は順序関係である事を示せ。 　（2）inf｛x、y｝＝x∩yとなることを示せ。 3. (1) 集合x、yに対して、 　｛{x}∪{y}｝－{{y}} 　 どんな集合か。 問題1に関してはノートなどを見て書いてみたんですが、 反射：f(a)=a 対称：f(a)=bとするとf^-1(b)=a 推移：f(a)=b、f(b)=cとするとf(f(a))=c 教官には違うと指摘されただけで終わりました。何が違うんでしょうか？ ちなみにf^-1はfの逆行列という意味です。

凸包Ｃ（Ａ）＝｛Σα［k］Ｘ［k］｜∀kに対してＸ［k］∈Ａ，α［k］≧０，Σα［k］＝１｝＝：Ｖ　　（Ａはベクトル空間) に対してＣ（Ａ）⊂ＶとC(A)⊃Ｖを示せばよいことはわかりますが、それらが示せません。 助けてください。 よろしくお願いします。

２つの疑問、わかる方だけでも良いので、回答よろしくお願いします。 自分は、 ０．９９９・・・＝１ なのは、 ０．９，０．９９，０．９９９，０．９９９９・・・・ という数列は (1)「１に限りなく近づく」というイメージをもつことができる (2)この数列が収束する値のことを、無限小数０．９９９・・・で表す からである、と本で読みました。 疑問1　「1に限りなく近づく」というイメージだけで、 　　　　０．９９９・・・＝１としてしまってよいのか。（(1)は本の文章をそのまま抜き出し） また、その本では、 ０．９９９・・・＝１ の式に対する注意点として、 「限りなく近づいていくその目標となる数が１なのであって、小数点以下の９を無限に続けていくといつの間にか１になってしまう、という解釈ではありません。」 と書いています。 疑問２　この「注意点」を読むと、０．９９９・・・≠１のように思えてしまうが、どうしてそうではないのか。

(1){An}n=1~∞ : An+2 + An+1 + An + An-1 = 0, a≧2 　の時=0の時、≧0の時の２つ、ベクトル空間かどうか調べよ。 　ベクトル空間でないときその理由を述べよ。 (2)Aがエルミート行列の時その固有値は実数であることを示せ。 　その時異なる固有値a≠bのそれぞれの固有空間 　ker(a-A),ker(b-A)は直交することを示せ。 (3)Wをn次元ベクトル空間Uの部分空間とするとき 　dimW = dimU ⇔ W=U　を示せ (2)は実数であることは示せたんですが後半がわからないです… どなたか教えていただけないでしょうか？

こんにちは。宜しくお願い致します。 次の二つの命題が証明できません。 [定義1]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸集合Cを凸包といい,このCをco(B)と表す。 [定義2]R^nの部分集合Bが次の2条件を満たす時,Bを凸錐という。 (i) x∈B,λ≧0⇒λx∈B (ii) x,y∈B⇒x+y∈B [命題1](R^n⊃)Bを有限集合B={b_1,b_2,…,b_n}とする時,co(B)={Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1} [証] co(B)=∩[C∈{C;B⊂C,Cは凸集合}]Cであり,これを使って証明するとかとも思いましたが co(B)⊂{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事と co(B)⊃{Σ[i=1..r]λ_ib_i;λ≧0,Σ[i=1..r]λ_i=1}である事にどうやって持っていけばいいのかわかりません。夫々どのようにして示せるのでしょうか? [命題2]R^nの任意の部分集合にBに対し,Bを含む最小の凸錐B~が存在する。 [証] これはどのような集合をB~を採ればいいのでしょうか?

以下の問題についてアドバイスいただけないでしょうか。 特に(aa^T + bb^T)というのが何を表すのかよく分からないです。。 3次元実空間における線形独立な2つの非零ベクトルをa, b∈R^3とし、a, bと直交する非零ベクトルをc∈R^3とする。 このとき、線形写像、 f : x∈R^3 → (aa^T + bb^T)x∈R^3 の像及び核を求めよ。（^Tは転置です。)

コーシー・シュワルツの不等式に関するラグランジュの恒等式というのがあるのですが、どのように証明すればよいのでしょうか。 どうか教えてください。 http://www.geocities.jp/kubojie/pdf/math10.pdf の１ページ目の一番下参照

1回同じ質問をしたのですが、訂正があったのですが訂正の方法が分からないのでもう一度書きます。 大学１年で線型代数を習っているのですが、 ３行３列の三角化の方法がいまいちよく分かりません。 たとえば行列A= 　３　　１　 －１ －１　　０　　３ －１　－２　　５ を三角化せよという問題で、 まず固有多項式＝０が実数解を持つことを調べて、次にその解である固有値を求め（固有値は2，3、3は重解）、次にすべての固有値とその重複度についてdimKer(A-ｔE)＝ｍであることを調べます。（ｔ：固有値　ｍ：重複度） 計算すると、Ker(A-2E)=[-1,2,1]・R（≡ｐ１ベクトルとおく　）　 Ker(A-3E)=[0,1,1]・R（≡ｐ２ベクトルとおく）　　（R:実数） この場合はdimKer(A-ｔE)＝ｍは成り立たないので対角化ができません。 ここまでは分かりますが次がよく分からないです。 三角化する正則行列Ｐを求めるのに、 （Ｐ＝[p1ベクトル　p2ベクトル　p3ベクトル]） ｛（Ａ－３Ｅ）＾２｝ｘベクトル＝０ベクトルを解く。 （Ｅ：単位行列） となっているのですがなぜこのような式が出てくるのかが分かりません。答えでは上の式からP３ベクトルを出し、三角化してるようなのですが・・・ ご回答よろしくお願いいたします。

(1)事象A、Bがあるとき、条件付き確率 P(A|B) は「事象Bが起こったとき事象Aが起きる確率」だと思いますが、それで正しいでしょうか。 (2)Aを表す円、Bを表す円、全事象を表す長方形を、それらを構成する根源事象の数に比例した面積で描くとき、P(A|B)は、図形的には、「AとBの重なる部分の面積がBの円の面積に対して占める割合」と考えてよいのでしょうか。もし、よくなければ、P(A|B)は図形的にはどのように考えられるでしょうか。 素人で、高校レベルの確率の初歩を勉強しています。やさしい解説をいただけるとありがたいです。

R＝　cosθ　　－sinθ 　　sinθ　　　cosθ　 の行列の固有値、固有空間を求める問題なのですが、（θは実数） 複素数の範囲で考えるといわれたので、とりあえず、固有値を求めたら、λ＝cosθ±isinθ　となりました。 このあとをどうしていいのかわからないんです。 本で調べてみたら、sinθ＝０のとき、固有空間は全空間。 sinθ≠０のとき、・・・は、理解できなくてわからなかったのですが、 どうしてこういう場合わけをして、こうなるのかわかりません。 よかったら教えてください。

識者の皆様宜しくお願い致します。Positive transformationの定義はよくわかりません。 [Def] A linear transformation f on an inner product space is positive,in symbols f≧0,if it is self-adjoint and if (f(x),x)≧0 for all x. の意味は 「線形変換fが自己随伴写像で内積(f(x),x)≧0の時,この線形変換fは正値であるという」 で正しいでしょうか?

３次元空間R^3の基底（ 1, -1, 0 ）,( 2, 1, 1 ),( 1, 2, 3 )を正規直交化せよ という問題なんですがどうするのでしょうか？ ↓途中までといてみました。途中式や公式、計算が間違ってるかもしれませんが・・・・ a =（ 1, -1, 0 ）, b = ( 2, 1, 1 ),c = ( 1, 2, 3 )として それぞれの正規直交成分をe1,e2,e3とおきます。 最初に |a| = √２から e1 = a / |a| = √2（ 1, -1, 0 ） 次にb~(ｂチルダ) = b - <b,e1>e1（<>は内積です）より（←ここの式が違う？） b~ = ( 2, 1, 1 ) - ( 1, -1, 0) = ( 1, 2, 1 ) よって e2 = b~/|b~| = 1 / √6 ( 1, 2, 1 ) さらにc~ = c - <c,e1>e2 - <c,e2>e1から（←ここの式が違う？） ・・・・・・・・・・・・・ （ここでc~の値がむちゃくちゃになったのでかきません・・・・） よってe3 = c~/|c~| = ? という感じです。

３次元空間R^3の基底（ 1, -1, 0 ）,( 2, 1, 1 ),( 1, 2, 3 )を正規直交化せよ という問題なんですがどうするのでしょうか？ ↓途中までといてみました。途中式や公式、計算が間違ってるかもしれませんが・・・・ a =（ 1, -1, 0 ）, b = ( 2, 1, 1 ),c = ( 1, 2, 3 )として それぞれの正規直交成分をe1,e2,e3とおきます。 最初に |a| = √２から e1 = a / |a| = √2（ 1, -1, 0 ） 次にb~(ｂチルダ) = b - <b,e1>e1（<>は内積です）より（←ここの式が違う？） b~ = ( 2, 1, 1 ) - ( 1, -1, 0) = ( 1, 2, 1 ) よって e2 = b~/|b~| = 1 / √6 ( 1, 2, 1 ) さらにc~ = c - <c,e1>e2 - <c,e2>e1から（←ここの式が違う？） ・・・・・・・・・・・・・ （ここでc~の値がむちゃくちゃになったのでかきません・・・・） よってe3 = c~/|c~| = ? という感じです。

ワタクシ数学に関して全くの無知な為困り果てております。 先日四歳児の息子に質問されました。 「お母さん、数の最後っていくつなの？」 ワタクシにはとても難易度の高い問題に思えてなりません。 タダ単に「∞」という言葉を伝えたらイイのかもしれません。 でもそれはホントの正解なのかが疑問なのです。 そこで皆さんに質問なのですが、四歳児に理解できる方法（言葉）で なんとかこの「数の最後」を説明する事は出来ないでしょうか？ 皆さんの知恵をお借りしたいです。 現在息子は数に興味を持ちはじめました。出来れば正確な知識を与えたいのです。ヨロシクお願いします。

お世話になります。数学大嫌い男です。 やや数学っぽい本を見ていたら、反射律・対称律・推移律というのが書いてありました。 しばらくいくと次の問題がありました。 問「対称律と推移律が成り立つとき、対称律によって a～b ならば b～a,したがって推移律によって a～a となって反射律が成り立つという論法は誤りであることを説明せよ」 答「問題の論法は関係のついている元ａだけについて a～aを言ったにすぎない」 私にはチンプンカンプンです。 答も何を言っているのかわかりません。 だって本には簡単にしか書いてません。反射律・対称律・推移律の定義を私がよく分かっていないのかな？ どなたか分かる人がいらっしゃいましたら、お教えください。 数学嫌いの私でも分かるように、よろしくお願いいたします。

ワタクシ数学に関して全くの無知な為困り果てております。 先日四歳児の息子に質問されました。 「お母さん、数の最後っていくつなの？」 ワタクシにはとても難易度の高い問題に思えてなりません。 タダ単に「∞」という言葉を伝えたらイイのかもしれません。 でもそれはホントの正解なのかが疑問なのです。 そこで皆さんに質問なのですが、四歳児に理解できる方法（言葉）で なんとかこの「数の最後」を説明する事は出来ないでしょうか？ 皆さんの知恵をお借りしたいです。 現在息子は数に興味を持ちはじめました。出来れば正確な知識を与えたいのです。ヨロシクお願いします。

テーラー展開を使えば、三角関数や円周率が整級数で近似できるというのは知っています。 しかし、テーラー展開の図形的意味つまり、テーラー展開では関数のグラフにおいて何を表しているのかよくわかりません。それと、高次の導関数を使えばなぜ近似の精度が向上するのかよくわかりません。 大学の図書館でいろいろ本を見たのですが、すっきりとした答えが見つかりませんでした。 回答をよろしくお願いします。