「限りなく近づく」にまつわる疑問

質問

２つの疑問、わかる方だけでも良いので、回答よろしくお願いします。
自分は、
０．９９９・・・＝１
なのは、
０．９，０．９９，０．９９９，０．９９９９・・・・
という数列は
(1)「１に限りなく近づく」というイメージをもつことができる
(2)この数列が収束する値のことを、無限小数０．９９９・・・で表す
からである、と本で読みました。

疑問1　「1に限りなく近づく」というイメージだけで、
　　　　０．９９９・・・＝１としてしまってよいのか。（(1)は本の文章をそのまま抜き出し）

また、その本では、
０．９９９・・・＝１
の式に対する注意点として、
「限りなく近づいていくその目標となる数が１なのであって、小数点以下の９を無限に続けていくといつの間にか１になってしまう、という解釈ではありません。」
と書いています。

疑問２　この「注意点」を読むと、０．９９９・・・≠１のように思えてしまうが、どうしてそうではないのか。

回答No.7

tinantum

同じような疑問を持つ方が大変多いので，少し説明を試みてみます．特に，

疑問1　「1に限りなく近づく」というイメージだけで、
　　　　０．９９９・・・＝１としてしまってよいのか。（(1)は本の文章をそのまま抜き出し）

という疑問にお答えしてみます．

まず答えをいうと，もちろん，イメージだけでしているわけではなく，”十進法の定義”から上のような等式が得られるということです．そのために，十進法（本質的には二進法でも，n進法でも何でもよいですが）の定義（数の表記の約束事）から理解しなくてはなりません．

ご存知の通り，十進法は，数を表すために人類が編み出した素晴らしい工夫の表記であり，無限にある数をたった十個の文字(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)だけで表せるという発明です．例えば，十進法がなければ，『一』や『五』などだけでなく，『百』とか『千』とか，無数に記号が必要になってしまいますが，十進法では百は『100』と表せばよいし，『八万千五百九』は『81509』と表せば事足りて，どんな大きな整数も表すことができますね．我々は十進法の表記にすっかり慣れてしまっているので，十進法で表した表記を実際の数字に表す約束事を暗黙のうちに脳が理解して処理していますが，ちゃんと約束事を述べると，
例えば『81509』の場合，『万』が八つあり，『千』が1つあり，『百』が五つ，『一』が九つ，あるような数を『81509』と表すということですね(ここで，あえて『10000』や『1000』と書かずに『万』や『千』などの数を書きましたが，”十進法表記や漢字表記やどんな表記をしようと”表記の以前に『万』や『千』などの『数』という概念が先行して存在していることに注意してください．例えば『三』という数は『・・・』という風に・が三つあることをイメージしたり，『万』というのは・が本当に一万個あることをイメージしてください．ちなみに余談ですが，十は一つもないということを表すために，零という数の発明が重要になります．もし0がなければ，上の約束事が8159となってしまい，八千百五十九と区別がつかなくなります）．
上の十進法の表記の約束事を数式で書くと，

『81509』= 8*10000 + 1*1000 + 5*100 + 0* 10 + 9*1

です．これをさらに拡張すると，必ずしも整数でなく，一部の小数も書くことができるようになります．それが，例えば
『81509.234』
という小数ですが，これは『一万』が八つあり，『千』が1つあり，『百』が五つ，『一』が九つ，にさらに，『十分の一』が二つ，『百分の一』が三つ，『千分の一』が四つある数を表しており，数式では

『81509.234』= 8*10000 + 1*1000 + 5*100 + 0* 10 + 9*1 + 2*0.1 + 3*0.01 + 4*0.01

ということになります．このようにすることでかなり多くの実数（十進法で有限小数で止まるような数）が表記されます．文字で書くと，

a_N a_{N-1} … a_1 a_0. a_{-1} a_{-2} … a_{-M}

(ただし a_i は 0,1,...,9のうちのどれか)
という表記を見たら，それは

a_N*10^N + a_{N-1}*10^{N-1} + … + a_1*10^1 + a_0* 10^0 + a_{-1} 10^{-1} a_{-2} 10^{-2} + … a_{-M} 10^{-M}
= Σ_{k=-M}^{N} a_k 10^k … (1)

という数を表していることになります．

ところが，これでは任意の実数が十進法で表現できなくなってしまいます．例えば典型的な例は『三分の一』や『円周率』という数です．こういうのは，無限小数表記を十進法に取り入れることで表せることになります．ようやく本題に近づきましたが，例えば十進法で
0.3333333333…
のように，右に無限に数字が並んでいる場合，（1）式の有限の場合を一般化して，数を表す約束事を次のように”定義”します（← ここに注意してください）．
0.3333333333… = Σ_{k=-∞}^{-1} 3 10^k
= lim_{M→∞} Σ_{k=-M}^{-1} 3 10^k
です．より一般的には，

a_N a_{N-1} … a_1 a_0. a_{-1} a_{-2} … a_{-M} …

という十進法の表記は，次の数

lim_{M→∞} Σ_{k=-M}^{N} a_k 10^k　… （２）

を表していると約束しているわけです．（ここで厳密には，lim_{M→∞}というのは，ε-Ｎ論法で定義される極限です．）

では，本題の

0.99999…

という十進法の表記ですが，これは何の数を表しているのか？ということになります．ところが定義（２）によると，これは

lim_{M→∞} Σ_{k=-M}^{-1} 9 10^k
= lim_{M→∞} Σ_{k=1}^{M} 9 10^k
= lim_{M→∞} 9 Σ_{k=1}^{M} (1/10)^k
= lim_{M→∞} 9 (1/10 - (1/10)^{M+1})/(1 - 1/10)
= 9 (1/10)/(1 - 1/10)
= 9 (1/10)/(9/10)
= 1
となり，『1』という数を表していることになっていることがわかります．これがよく話題に出る

0.99999… = 1

という一見矛盾したように見える等式の正体です．『一』という数は，『0.9999…』もしくは『1』と十進法表そうが，漢字で『一』と書こうが，『Ｉ』と書こうが，・という・が１つというイメージで持とうが，表記の以前に実在した数でそれは悪魔でもただ１つの存在であることに注意してください．ところが，十進法では，この『一』という数を表すとき，
0.99999…
とも表せるし，
1
とも表せる，という表記の一意性がないということにすぎないのです（表記が一般的に一意でないことは，ある意味で十進法の欠点とも言う人もいますが，普段それを意識することはほとんどないでしょう．ただし十進法を用いたある種の証明を行うときは，この非一意性は注意しなくてはなりません．例えばカントールの対角線論法による実数の濃度は自然数の濃度よりも大きいという証明では注意を必要とします）．

同じ『一』という数がなぜ上のように一意にならないか？という疑問には答えていませんが，十進法の気持ちを考えると，次のようになります．普通の人は，
『一』
を見て，すぐに，この数は『一』が一つだけなので，十進法の約束から，
1
と表記するでしょう．しかし少しひねくれた人は，
『一』という数には，まず『十分の一』が『九つ』あり，これだけでは足りないから，さらに『百分の一』が『九つ』あり，まだ足りなくて『千分の一』が『九つ』あり，…これが一生終わらない…ということになり，0.99999…と表そうということになる可能性もあるわけです．

以上，推敲せずに長々と書いて見ましたが，ポイントは
（Ａ）『数』は表記法に先行して存在する概念である，
（Ｂ）数を表すのに十進法の表記の約束事，特に無限小数の十進法の約束は極限で定義されていること，
（Ｃ）同じ数を表すのに十進法の表記は一意ではなく，それが

0.9999 … = 1　

という二通りの表記となって現れているということです．

どうでしょう？

お礼

回答ありがとうございます。
文字式のところはよくわからなかったけれど、もう少し勉強が進んだら読み返してみようと思っています。
０．９９９・・・＝１は、イメージからではなく、実は十進法の定義から得ていたんですね。質問しなければわかりませんでした。感謝します。
十進法という表記の話、ポイントA～Cなど、とても役に立ちました。
特に圧巻だったのは、
＞しかし少しひねくれた人は・・・
のところです。確かに十進法の気持ちを考えていますね。ちょっと感動を覚えました。