siegmund の回答履歴

以下の問題が解けずに困っています。 N個の同種粒子からなる一次元の粒子系を考える。ハミルトニアンが H=1/(2m)Σp^2+U(r) (p、rにはiのラべリングがありますが省略します) 古典カノニカル統計を用いることにする。ポテンシャルエネルギーUがar^2/2の項を含み、かつrがこれ以外に現れないとき、この項には平衡状態で内部エネルギーkT/2が割り当てられることを示せ。 という問題です。 調和振動子のカノニカル統計の内部エネルギーなどを参考に本やインターネットなど調べ計算したのですが、どうしても内部エネルギーがkTになってしまい1/2が出てきません。 私がやった計算は、 一粒子状態和は z=1/h∬dpdr exp[-β(p^2/2m+ar^2/2)]=2π/(βh)(m/a)^(1/2) よって内部エネルギーは ϵ=-∂Inz/∂β=1/β=kT という感じです。 聞きたいのは、 1．問題の「この項に割り当てられる」内部エネルギーというのが、一粒子についての内部エネルギーという解釈で合っているのかどうか。 2．E=-∂InZ/∂βの式は全系の状態和Zと内部エネルギーEについての式だと思うのですが、上で私が書いたように一粒子についても使えるのかどうか。（ほかに一粒子についてわからずとりあえず使って計算してみました…） 3．ほかの教科書などでも、古典カノニカルで内部エネルギーに1/2がついているものが見当たらなかったのですが、この問題はどう解くのか。 ほかにもいろいろと間違っているところはあると思うのですが、指摘していただけると助かります。

二次元剛体ポテンシャル V(x,y)=0 for |x|<(L/2) ,|y|<(L/2) V(x,y)=∞ otherwise について基底状態のエネルギー固有値と固有関数を求めた後 摂動ポテンシャルΔV(x,y)=axy、(a:摂動パラメータ)に対してエネルギーのずれを一次近似で求める問題です。 （解） Schrödinger方程式の解はu(x,y)=X(x)Y(ｙ)と変数分離可能であるから X(x)=0 X(x)=A_x Cos[k x]+B_x Sin[k x] 境界条件X(±L/2)=0より非自明解が存在するためにはdet(・)=0より k_n=n_x π/Lである必要がある。 したがってエネルギー固有値はE_xn=ħ^2 π^2/(2 m L^2) n_x^2 完全性関係式によって規格化すると X_n(x)=√(2/L) Sin[n_xπx/L] for n_x=2,4,... X_n(x)=√(2/L) Cos[n_xπx/L] for n_x=1,3,... Y方向も同様にして Y_n(y)=√(2/L) Sin[n_yπy/L] for n_y=2,4,... Y_n(y)=√(2/L) Cos[n_yπy/L] for n_y=1,3,... 以上よりエネルギー固有値は E[n_x,n_y]=ħ^2 π^2/(2 m L^2) (n_x^2+n_y^2) と書ける。よって基底状態のエネルギー固有値は E[1,1]=ħ^2 π^2/(m L^2) 固有関数は u[1,1](x,y)=X_[1](x)Y[1](x)=(2/L) Cos[πx/L]Cos[πy/L] 摂動ハミルトニアンH'を考えるとH'=H_0+ΔV(x,y) 摂動論より基底状態のエネルギーE_0とすると一次近似は， E_0(1)=<u_0(0)|H'|u_0(0)>=<u_0(0)|H_0+ΔV(x,y)|u_0(0)>=E_0(0)+<u_0(0)|ΔV(x,y)|u_0(0)> したがってエネルギーのずれは ΔE=E_0(0)-E_0(1)=-<u_0(0)|ΔV(x,y)|u_0(0)>=-a (2/L)(∫{-L/2,L/2}x Cos[πx/L]^2 dx)(∫{-L/2,L/2},y Cos[πy/L]^2 dy)=0 と求まる。 上のように摂動論を考えたところエネルギーのずれがゼロになってしまいましたがこの問題の解答としてはこれで合ってるでしょうか。エネルギー変化がないということは摂動ハミルトニアンが非摂動ハミルトニアンに等しいということで理解すれば大丈夫ですか？

写真の左の図のような２重円筒に関しての質問です。電流Ｉは無視してください。 この時、中心軸からの距離xに応じた電場を求めたいのですが、 円筒に挟まれた領域では写真の右図のようなになることはガウスの法則を用いて求めることができましたが、二つの円筒より外で図のような電場になることが分かりません。 円筒の半径より大きいxのとき、ガウスの法則を適応させれば正味の電荷は０になり、電場も０となるように思うのですが、正しくはどう考えればいいですか？ よろしくお願いします。

写真の左の図のような２重円筒に関しての質問です。電流Ｉは無視してください。 この時、中心軸からの距離xに応じた電場を求めたいのですが、 円筒に挟まれた領域では写真の右図のようなになることはガウスの法則を用いて求めることができましたが、二つの円筒より外で図のような電場になることが分かりません。 円筒の半径より大きいxのとき、ガウスの法則を適応させれば正味の電荷は０になり、電場も０となるように思うのですが、正しくはどう考えればいいですか？ よろしくお願いします。

写真の左の図のような２重円筒に関しての質問です。電流Ｉは無視してください。 この時、中心軸からの距離xに応じた電場を求めたいのですが、 円筒に挟まれた領域では写真の右図のようなになることはガウスの法則を用いて求めることができましたが、二つの円筒より外で図のような電場になることが分かりません。 円筒の半径より大きいxのとき、ガウスの法則を適応させれば正味の電荷は０になり、電場も０となるように思うのですが、正しくはどう考えればいいですか？ よろしくお願いします。

水素原子の波動関数の直交性を求めたいのですが、うまくいきません。 次のように計算しました。 ∫φ(1s)・φ(2s)dρ=0が証明できればいいので、 1sと2sの波動関数を入れて、積分計算のところだけを示すと、 ∫[0 to ∞](2-ρ)exp(-3ρ/2)dρ となり、部分積分を行い、 [-2(2-ρ)exp(-3ρ/2)/3][0 to ∞] - 2/3∫[0 to ∞]exp(-3ρ/2)dρ =4/3 + 2/3[2exp(-3ρ/2)/3][0 to ∞] となりどう計算しても0にはなりません。 考え方は間違っていないように思うのですが、いったいどう計算すればよいのでしょうか？ 積分範囲が間違っているのでしょうか？ 積分範囲は、よくわからず、0になりそうかなと思って適当に0から∞で計算してみました。

水素原子の波動関数の直交性を求めたいのですが、うまくいきません。 次のように計算しました。 ∫φ(1s)・φ(2s)dρ=0が証明できればいいので、 1sと2sの波動関数を入れて、積分計算のところだけを示すと、 ∫[0 to ∞](2-ρ)exp(-3ρ/2)dρ となり、部分積分を行い、 [-2(2-ρ)exp(-3ρ/2)/3][0 to ∞] - 2/3∫[0 to ∞]exp(-3ρ/2)dρ =4/3 + 2/3[2exp(-3ρ/2)/3][0 to ∞] となりどう計算しても0にはなりません。 考え方は間違っていないように思うのですが、いったいどう計算すればよいのでしょうか？ 積分範囲が間違っているのでしょうか？ 積分範囲は、よくわからず、0になりそうかなと思って適当に0から∞で計算してみました。

　 ε0μ0 = 1/C^2 関係式より、インダクタンスの単位ヘンリー［H]とキャパシタンスの単位ファラッド[F]の積が時間の２乗[ｓ＾２]になるのは何を意味するのでしょうか。 　

以下のURLに載せた問題の(2)が分かりません。 http://www.picamatic.com/view/9370217_DSC_0342/ エイチバーをh'と書きます。 そもそもこの問題の状況がつかめないのですが、磁場がz方向にかかっているということは、電子のスピンの向きはz方向を向いている思うのですが、t=0でスピンの向きはx軸の正の方向を向いているということは、t=0の瞬間にz方向に磁場を掛けたということなのでしょうか？ とりあえず、状況があまりつかめないまま(2)にとりかかってみました。 スピンの任意の方向は、(1 0)_t(転置)と (0 1)_t の一次結合で表せるので、 a(1 0)_t + b(0 1)_t =(a b)_t これを(h'/2)σ_x に作用させると、 (h'/2)(b a) となり、a=b のとき固有状態となるので、規格化条件より、 a=b=1/√2 よって Χ(0)=1/√2(1 1)_t この考え方は合ってますでしょうか？ あともう一つ質問があって、(3)で時間に依存するシュレーディンガー方程式を書くとき、このときのハミルトニアンは、(1)で導出した、B(μ_B)σzだけでいいらしいのですがそれはなぜなのでしょうか？ ポテンシャルエネルギーがゼロなのはクーロン力が働いていないからいいとして、運動エネルギー演算子は必要ではないのでしょうか？

以下のURLに載せた問題の(2)が分かりません。 http://www.picamatic.com/view/9370217_DSC_0342/ エイチバーをh'と書きます。 そもそもこの問題の状況がつかめないのですが、磁場がz方向にかかっているということは、電子のスピンの向きはz方向を向いている思うのですが、t=0でスピンの向きはx軸の正の方向を向いているということは、t=0の瞬間にz方向に磁場を掛けたということなのでしょうか？ とりあえず、状況があまりつかめないまま(2)にとりかかってみました。 スピンの任意の方向は、(1 0)_t(転置)と (0 1)_t の一次結合で表せるので、 a(1 0)_t + b(0 1)_t =(a b)_t これを(h'/2)σ_x に作用させると、 (h'/2)(b a) となり、a=b のとき固有状態となるので、規格化条件より、 a=b=1/√2 よって Χ(0)=1/√2(1 1)_t この考え方は合ってますでしょうか？ あともう一つ質問があって、(3)で時間に依存するシュレーディンガー方程式を書くとき、このときのハミルトニアンは、(1)で導出した、B(μ_B)σzだけでいいらしいのですがそれはなぜなのでしょうか？ ポテンシャルエネルギーがゼロなのはクーロン力が働いていないからいいとして、運動エネルギー演算子は必要ではないのでしょうか？

以下の例の問題文があったとき、答えには単位は必要なのでしょうか。 例1　車の速さ v [m/s] 進んだ時間を ｔ[s]として、車のすすんだ距離　x [m]を求めよ。 例2　車の速さ v [m/s] 進んだ時間 ｔ[s]として、車の進んだ距離を求めよ。 例3　車の速さ v [m/s] 進んだ時間 ｔ[s]として、車の進んだ距離をｖ、ｔで表せ。 テストで単位の書き忘れをどのように採点するか、その参考にしたいです。

以下のURLに載せた問題の(2)が分かりません。 http://www.picamatic.com/view/9370217_DSC_0342/ エイチバーをh'と書きます。 そもそもこの問題の状況がつかめないのですが、磁場がz方向にかかっているということは、電子のスピンの向きはz方向を向いている思うのですが、t=0でスピンの向きはx軸の正の方向を向いているということは、t=0の瞬間にz方向に磁場を掛けたということなのでしょうか？ とりあえず、状況があまりつかめないまま(2)にとりかかってみました。 スピンの任意の方向は、(1 0)_t(転置)と (0 1)_t の一次結合で表せるので、 a(1 0)_t + b(0 1)_t =(a b)_t これを(h'/2)σ_x に作用させると、 (h'/2)(b a) となり、a=b のとき固有状態となるので、規格化条件より、 a=b=1/√2 よって Χ(0)=1/√2(1 1)_t この考え方は合ってますでしょうか？ あともう一つ質問があって、(3)で時間に依存するシュレーディンガー方程式を書くとき、このときのハミルトニアンは、(1)で導出した、B(μ_B)σzだけでいいらしいのですがそれはなぜなのでしょうか？ ポテンシャルエネルギーがゼロなのはクーロン力が働いていないからいいとして、運動エネルギー演算子は必要ではないのでしょうか？

半径aの球内に正の電荷Qが一様に分布しているとき、球内部及び外部の電場を求めよ。 また、球内部の中心付近に質量m、電荷-q(q>0)の粒子を静かに置いた。この粒子が受ける力を示し、運動方程式をたてよ。次いで、この粒子の運動について考察せよ という問題があるのですが、 球内部の電場 Er = 0 球外部の電場 Er = Q / 4πε0r^2 (ε0は真空中の誘電率） と解けました。運動方程式はどのようになるのでしょうか。また、考察はどのように書けばよいのでしょうか。

この問題が分かりません・・・ 万有引力が距離の逆二乗で減ることを考慮して、質量mの物体を初速度vで垂直に投げ上げた時の到達高度hを表し、さらに、重力加速度を一定としたときの到達高度との相対誤差が1%になるような高度を求めよ。ただし地球の半径はＲとする。 エネルギー保存則から 1/2mv^2 - GMm/R = 0 - GMm/(R＋h) がなりたち h = v^2 R(R＋h)/2GM　…(1) また、重力加速度一定とすると 1/2mv^2 = mgh より h = v^2/2g 　…(2) ➁/(1) = 1/100 より h = 100GM/Rg - R ≒635500km となったのですがどうも自信がないです… また、解答には　h = Rh/(R-h)　という等式が出てきたのですが意味が分かりません どなたかご教授ください_(_^_)_

力　G（0,x） は、向きはy軸方向で、大きさはx軸の値と同じ大きさの力ですよね。 それでは、この力をある閉経路に沿って線積分するとどうなるんですか？ というか、そもそもこの力を閉経路に沿って線積分することなんてできるんでしょうか？ y軸方向にしか力が働かないなら一周なんてできませんよね？

力　G（0,x） は、向きはy軸方向で、大きさはx軸の値と同じ大きさの力ですよね。 それでは、この力をある閉経路に沿って線積分するとどうなるんですか？ というか、そもそもこの力を閉経路に沿って線積分することなんてできるんでしょうか？ y軸方向にしか力が働かないなら一周なんてできませんよね？

力　G（0,x） は、向きはy軸方向で、大きさはx軸の値と同じ大きさの力ですよね。 それでは、この力をある閉経路に沿って線積分するとどうなるんですか？ というか、そもそもこの力を閉経路に沿って線積分することなんてできるんでしょうか？ y軸方向にしか力が働かないなら一周なんてできませんよね？

0次の第2種変形ベッセル関数 K_0(x)は微分することで 1次の第2種変形ベッセル関数 K_1(x)と一致します。 つまり、 d/dx [ K_0(x) ] = - K_1(x) という関係があります。 一方で、 K_1(x) = f ( K_0(x) ) あるいは K_0(x) = f ( K_1(x) ) のように関数による関係はございますでしょうか？ 手元にある特殊関数の書籍を見てみましたが載っていませんでした。 どなたかご存じでしたら教えてください。

理想フェルミ気体の部分で，一粒子状態密度を求める際のスピンによる縮退度についてです． スピンは上向きか下向きの２種類しかないので縮退度は２となると思ったのですが，2s+1個のスピン状態を持っているので縮退度は2s+1になると書いてあるのですが，なぜこのようになるのですか？ 調べたところわからなかったので質問します．

最近, ポアソン分布で遊んでみて思ったのですが指数関数の概算で良い方法はないでしょうか? 原点の近くならばテイラー展開をすれば良いのですがパラメータλのポアソン分布の確率関数は p(x = k) = (λ^k exp(-λ))/k! となり, たとえばλ = 3 のときに exp(-3) ~ 1 - 3 + 9/2 = 2.5 と概算すると真の値 exp(-3) ~ 0.05 からは大きくはずれてしまいます. 10のべきまで展開してやっと0.05くらいになります. が, これではとても暗算では計算できません. どなたかこのような概算を頭の中で(あるいはレシートの裏くらい計算スペースで済む)方法を知りませんか？ あるいは直接に確率を概算する方法も大歓迎です.