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ある減少数列(an≦an-1となる数列かつ詳細なanの式は出せない)がありかつすべてのnについてan≧bとなる実数がある時その数列のn→∞の極限は収束すると言えますか？例外があるかわからなくなりました

(1)お願いします 数1です

数1、3、7、9、11、13、17、19は20を法とする積で群をなしている。この群がZ8と同型でない理由を説明せよ、 という問題が分かりません。良かったら教えて下さい。

最近円周率についての引き算で大変勉強させていただきましたが、小学生の勉強から離れてネーピア数で同じことをやってみるとはじめのうちは５６７６６４１４９４１３１２２３・・・となりますが、最終的には円周率と同じ分布になるのでしょうか。また無理数もすべて最終的には同じ分布になるのでしょうか。

最近円周率についての引き算で大変勉強させていただきましたが、小学生の勉強から離れてネーピア数で同じことをやってみるとはじめのうちは５６７６６４１４９４１３１２２３・・・となりますが、最終的には円周率と同じ分布になるのでしょうか。また無理数もすべて最終的には同じ分布になるのでしょうか。

最近円周率についての引き算で大変勉強させていただきましたが、小学生の勉強から離れてネーピア数で同じことをやってみるとはじめのうちは５６７６６４１４９４１３１２２３・・・となりますが、最終的には円周率と同じ分布になるのでしょうか。また無理数もすべて最終的には同じ分布になるのでしょうか。

A、Bが以下のルールで勝負したとき、Aが勝利する確率を計算してください。 ［ルール1］コインを投げて、表が出たらAのポイント、裏が出たらBのポイントとする。 ［ルール2］先に6ポイント獲得 した方が、その時に相手に2ポイント以上の差をつけていた場合に勝利とする。どちらかが6ポイント獲得した際のポイント差が0または1の場合は、2ポイントの差がつくまでコインを投げ続けることとする。 ［ルール3］1回目はコインの表が出たと仮定して計算することとする。 Aがコインを投げる回数12回以下で勝利する確率を求めてください。

a=(1+√2,2-√2,1+√2),b=(-1+√3,-2,-1-√3) 3次正方行列Aが上のベクトルaとbについてAa=b,Ab=aをみたし,detA=2を満たすとき, Aの固有値をすべて求めなさい。ただし,detAはAの正方行列をあらわす。

これは正しいのでしょうか。また証明はそれほど難しくないでしょうか。

数1です！ お願いします！

https://i.imgur.com/1hcwLvl.jpg 2数のペアの存在条件となっていますが (4)かつ(5)を満たす実数bが存在するためのaの条件と考えれば、以下の写真の1文字についての存在条件と同種の議論にならないんですか？

知人から出された問題で、何でも東工大の過去問のようです。 ［問題〕 lim[n→∞］∫(0~π/2) {sin∧2(nx)／(1＋x)}dx を求めよ。 nが入って、定積分がお手上げです。どなたか解答していただけませか。どうぞよろしくお願いします！

有限劣加法性の問題です。写真の問題の解き方がこれでいいか分かりません。 一応有限劣加法性を示すところを解いてみたのですが、部分列の置き方など怪しいところがあるように自分でも思えます。 もしおかしいところがあれば教えてはくれませんでしょうか？

大学の課程の数学の話題になるとおもうのですが、高さについてわからないので質問します。 a0x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+a3x^(n-3)+an-1x+an=0 {a0≠0,ai∈Z,ai(i=1,2,3・・・n)} ・・・(1)の根を代数的数とよぶそうです。またその高さをN=ｎ-1+|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+・・・+|an|・・・(2)とするそうです。 代数的数ωが与えられればそれが満足する方程式(1)は(条件a0>0,a0,a1,a2,a3,・・・anの最大公約数(a0,a1,a2,a3,・・・an)=1によって)一意的に定まり。したがってその高さN=N(ω)も定まる。明らかにNは自然数であるが、与えられたNに対して、(2)が成り立つようなa0,a1,a2,a3,・・・anは有限個しかない。したがってN=N(ω)となるようなωも有限個しかない。 (例えばN=1とすればn=1,a0=1従ってω=0となり、N(ω)＝1となるようなωは1つである。N=2とすればn=1,a0=1,a1=±1従って、N(ω)＝2となるようなωは1と-1の２個である。同様にN(ω)＝3となるようなωは2,-2,1/2,-1/2の４個である。) わからないのは、例えばのところです。a0,a1,a2,a3,・・・anのまま方程式に使わない。　例えば 1*ｘ+a1=0などとはしない。とするにしても、N=2のときn=1,a0=2　2*ｘ＝0や、 n=2 ,a0=1 1*x^2=0がでてこないのはなぜでしょう？どなたか間違いの指摘をお願いします。

代数学の証明問題について Sは可換環Rの積閉集合とし、PはSと交わらないイデアルの中で極大なものとする。(すなわち、Pより真に大きいイデアルIを取ると、I∩S≠(空集合) ) このとき、PはRの素イデアルであることを示せ。 上の証明問題がよく分かりません… わかる方、ご教示ください。

1)の証明 ・A^kの特性根はα_1^k, α_2^k, ... , α_n^k k=0のとき、成り立つのはわかる k=n-1で成り立つとき、k=nで成り立つ理由がわかりません (B)はどのような帰納法使っているのかわかりません 4.1.5, 2) Pが正則 ⇒φ(P^(-1)AP; x)=φ(A; x) 5) Aが対称に区分けされて (A(11) A(12)) (O A(22))の形 ⇒φ(A; x)=φ(A(11); x)φ(A(22); x)

以下の位相空間の証明問題が分かりません… Xは二つの位相O、O’についてコンパクトかつHausdorff空間であるとする。このとき、O＝O’または、OとO’は比較不可能(すなわちO’⊂OでもO⊂O’でもない)であることを示せ。 わかる方教えてください…！お願いします

以下の位相空間の証明問題が分かりません… Xは二つの位相O、O’についてコンパクトかつHausdorff空間であるとする。このとき、O＝O’または、OとO’は比較不可能(すなわちO’⊂OでもO⊂O’でもない)であることを示せ。 わかる方教えてください…！お願いします

整数(環？)についての証明がわからないので質問します。 証明することは、 p,qを2整数(または数体Kにおけるxの整式)とし、式　pu+qv・・・(1)においてu及びvを整数(Kにおける整式)全体にわたって変ずるものとする。かくして得る整数(整式)の中の最小正の整数(xについての最低次の整式)をdとし、d=pu0+qv0・・・（2）とする。然るときdはp,qの最大公約数である。　です。証明は以下のように書いてあります。 実際d'がp,qの公約数ならば、(2)からd'はdの約数である。他方dはu,vのいかんを問わず常に(1)を割り切っている。何となれば(1)をdで除した剰余をr(rは０に等しくない) とすれば、 pu+qv=ad+r=a(pu0+qv0)+r つまりp(u-au0)+q(v-av0)=r ところでｒはdより小なる正整数(dより低次の整式)であるから、上の関係はdが(1)が最小(最低次)であるという仮定に矛盾する。故にu,vのいかんを問わずdは(1)を整除する。今u=1,v=0とおけば(1)はpとなり,u=0,v=1とおけば(1)はqとなるから,dはpをもqをも割り切る。それゆえdはp,qの最大公約数である。 自分は、2*1+3*2＝8などから、8は2と3の最大公約数ではないと思い。何かp,u,q,v に条件があるのではと考えましたが、整数という条件しか探せませんでした。 剰余をｒとした後の計算と、剰余ｒを仮定すると矛盾するからｒ＝0ということ、ぐらいしかわかりません。ヒントでもよいので教えてくださいお願いします。

位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方いましたら、一問でもいいので、教えてくださると助かります…！ 次の各集合が開集合あるいは閉集合いずれであるか判定せよ。 (1) (1,4)U｛5｝(Rの部分集合として) (2) ｛( x , y )∈R^2 ; 3 < x + y , x^2 > y｝(R^2の部分集合として) (3) ｛( x , y , z )∈R^3 ; x^2 + y^2 + z^2≦ 1｝(R^3の部分集合として)