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写真で添付した数学の入試問題の（３）がどうしても解けません。どなたかわかりやすく解説してください。数学はあまり得意ではありません。よろしくお願いします。

以下の証明をお教え下さい。 ω(δ)=sup{ |f(x)-f(x')| | x,x'∈I, |x-x'|≦δ 、f(x)は定義域 I で連続} にて、δ≦δ’ならばω(δ)≦ω(δ') となる理由をお教え下さい。 ＜追伸＞ δが大きくなれば、supをとる範囲が増えるので、当たり前のことなのでしょうが、数式で表現出来ません。

次のような特定のHammerstein方程式について、解fが一意に決まることを証明する方法を教えていただけないでしょうか。 f(x) = ∫_a^b K(x,y) f(y)^c dy,　a≦x≦b ここでK(x,y)>0かつ連続、0<c<1とする。 ただし、条件は上に記載されているもののみです。なので、K(x,y)の絶対値の上限や区間[a,b]の長さに関する条件を与えたりするのは無しです。 解の一意性は確かに言えるらしいですが、その証明方法がわかりません。 縮小写像であることを示すのかなあと思いつつ、その方法が思いつきません。 よろしくお願いします。

初めの無限基数がω0で、その後ω1（連続体仮説がなければその間がありますが置いておいて）、ω2・・・・と続いてω^ω^ω^・・・・になり、 これの上が弱到達不能基数ですよね？ ということは弱到達不能基数の上に何かあり、その上に何か・・・というのが可算無限回続き、非可算無限回続き、・・・ と結局終わりがないのではありませんか？ 数学者はなぜこんなのを研究していたのですか？

初めの無限基数がω0で、その後ω1（連続体仮説がなければその間がありますが置いておいて）、ω2・・・・と続いてω^ω^ω^・・・・になり、 これの上が弱到達不能基数ですよね？ ということは弱到達不能基数の上に何かあり、その上に何か・・・というのが可算無限回続き、非可算無限回続き、・・・ と結局終わりがないのではありませんか？ 数学者はなぜこんなのを研究していたのですか？

最後の式で絶対値をとると、何故このような式になるのか理解できません。教えてください。

最後の式で絶対値をとると、何故このような式になるのか理解できません。教えてください。

∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、ｎは自然数とする。 これが解けなくてとても困っています。助けてください。 (1/3)x^3を微分するとx^2になることから、部分積分法で計算すると、 ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=(1/3)e^3-(n/3)∫[1→e](x^2){(logx)^(n-1)}dx・・・・(1) になりますよね？（計算が合ってる自信はあまりないです‥）また、n=1の時を考えると、 ∫[1→e](x^2)(logx)dx=(2e^3+1)/9・・・・(2) になりました。 (1)と(2)から、n=2の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^2}dx=(1/3)e^3-(2/3)(2e^3+1)/9=(5e^3-2)/27・・・・(3) になりました。(1)と(3)から、n=3の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^3}dx=(1/3)e^3-(3/3)(5e^3-2)/27＝(4e^3+2)/27・・・・(4) になりました。(1)と(4)から、n=4の場合を考えると・・・といったように繰り返し計算して、一般項を類推して、数学的帰納法で証明しようとしたのですが、肝心の一般項がうまく類推できません。一般項はなんだと思われますか？そもそもこの解き方で正解にたどり着けるのでしょうか？ もうひとつ質問があります。 ｎ→∞のとき、lim∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。 これも解けなくて困っています。一般項がわかれば自然と解けると思うのですが、上記のところで行き詰まっているので、この極限値も得られていません。これにも答えれ頂ければとても助かります。よろしくお願いします。

∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、ｎは自然数とする。 これが解けなくてとても困っています。助けてください。 (1/3)x^3を微分するとx^2になることから、部分積分法で計算すると、 ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=(1/3)e^3-(n/3)∫[1→e](x^2){(logx)^(n-1)}dx・・・・(1) になりますよね？（計算が合ってる自信はあまりないです‥）また、n=1の時を考えると、 ∫[1→e](x^2)(logx)dx=(2e^3+1)/9・・・・(2) になりました。 (1)と(2)から、n=2の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^2}dx=(1/3)e^3-(2/3)(2e^3+1)/9=(5e^3-2)/27・・・・(3) になりました。(1)と(3)から、n=3の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^3}dx=(1/3)e^3-(3/3)(5e^3-2)/27＝(4e^3+2)/27・・・・(4) になりました。(1)と(4)から、n=4の場合を考えると・・・といったように繰り返し計算して、一般項を類推して、数学的帰納法で証明しようとしたのですが、肝心の一般項がうまく類推できません。一般項はなんだと思われますか？そもそもこの解き方で正解にたどり着けるのでしょうか？ もうひとつ質問があります。 ｎ→∞のとき、lim∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。 これも解けなくて困っています。一般項がわかれば自然と解けると思うのですが、上記のところで行き詰まっているので、この極限値も得られていません。これにも答えれ頂ければとても助かります。よろしくお願いします。

∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、ｎは自然数とする。 これが解けなくてとても困っています。助けてください。 (1/3)x^3を微分するとx^2になることから、部分積分法で計算すると、 ∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=(1/3)e^3-(n/3)∫[1→e](x^2){(logx)^(n-1)}dx・・・・(1) になりますよね？（計算が合ってる自信はあまりないです‥）また、n=1の時を考えると、 ∫[1→e](x^2)(logx)dx=(2e^3+1)/9・・・・(2) になりました。 (1)と(2)から、n=2の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^2}dx=(1/3)e^3-(2/3)(2e^3+1)/9=(5e^3-2)/27・・・・(3) になりました。(1)と(3)から、n=3の場合を考えると ∫[1→e](x^2){(logx)^3}dx=(1/3)e^3-(3/3)(5e^3-2)/27＝(4e^3+2)/27・・・・(4) になりました。(1)と(4)から、n=4の場合を考えると・・・といったように繰り返し計算して、一般項を類推して、数学的帰納法で証明しようとしたのですが、肝心の一般項がうまく類推できません。一般項はなんだと思われますか？そもそもこの解き方で正解にたどり着けるのでしょうか？ もうひとつ質問があります。 ｎ→∞のとき、lim∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。 これも解けなくて困っています。一般項がわかれば自然と解けると思うのですが、上記のところで行き詰まっているので、この極限値も得られていません。これにも答えれ頂ければとても助かります。よろしくお願いします。

AB=O　ならば、AやBは単体としてどのような構造の行列といえますか、AとB相互の関係についてはどのような構造があるといえますか。 またAB=BA＝O　ならば、AやBは単体としてどのような構造の行列といえますか、AとB相互の関係についてはどのような構造があるといえますか。

複素数について 教科書に次のようなものが載っていました。 「複素数α、βに対して、実数の場合と同様に、次のことがなり立つ。 αβ=0⇔α=0またはβ=0」 【質問】 これは定義であって証明できないのでしょうか。 証明しようと思って、 p.f. α=a+bi,β=c+diとおいて αβ=(a+bi)(b+di)=0∴(ac-bd)+(bc+ad)i=0 よって、複素数が等しいための定義から ac-ad=0...(1)，bc+ad=0...(2) (このあと、連立方程式は場合分けをするのでしょうか?解き方がわかりませんでした^^;) としてみたのですが、行き詰まってしまいました。 どなたかご教示お願いします。

複素数について 教科書に次のようなものが載っていました。 「複素数α、βに対して、実数の場合と同様に、次のことがなり立つ。 αβ=0⇔α=0またはβ=0」 【質問】 これは定義であって証明できないのでしょうか。 証明しようと思って、 p.f. α=a+bi,β=c+diとおいて αβ=(a+bi)(b+di)=0∴(ac-bd)+(bc+ad)i=0 よって、複素数が等しいための定義から ac-ad=0...(1)，bc+ad=0...(2) (このあと、連立方程式は場合分けをするのでしょうか?解き方がわかりませんでした^^;) としてみたのですが、行き詰まってしまいました。 どなたかご教示お願いします。

【１１】の倍数の判定についてお教えくださいm(__)m。 小４の息子が　倍数・約数の学習をしております。 （√や平方数がらみもあるのが面白いらしいです） 【１１の倍数かの判定】に 『１の位から数えて奇数番目の数の和と、偶数番目の数の和の差が１１の倍数である。』 というのが使えるので　桁数の大きい数はそれを利用する様に書いてあるのですが、 そうなるとしか書かれていません。 『どうしてそれが成り立つのか教えて。』 と言うので　調べてみましたら （５桁以下の場合だけ示すと） 0≦a,b,c,d,e≦9（整数）とするとき 10000e+1000d+100c+10b+a =11(909e+91d+9c+b)+(a+c+e)-(b+d) と表せることから、 10000e+1000d+100c+10b+aが１１で割り切れる ⇔(a+c+e)-(b+d)が１１で割り切れる にたどり着いたのですが 10000e+1000d+100c+10b+a =11(909e+91d+9c+b)+(a+c+e)-(b+d) って・・・何故？？？？　と・・・理解できません。 1～１０までの倍数の判定は 【７】を除き説明してあげたのですが　【１１】がさっぱりで…頭を抱えております。 ７も理解不能で…ええぃ！　力技でとにかく割る！！　みたいに諦めたのですが　 ７を判定させる問題には出会ったことがないのですが【11】はよく出てくるのです。 息子は　(それなりにでも)納得しないと使えない。というタイプな子なもので・・・ 『ママちんぷんかんぷんだわ～。』と式を見せたのですが 息子も 『11でまとめているのは分かるんだけど　なんなん？この変な数字は？！？！　どっからこんなの気がついたわけ？！　う～ん…1にしたいのは分かるんだけど・・・もっと桁が増えたら上の桁はどうなるのかな？　うわ…なんか気持ち悪いね…。計算するのも嫌だなぁ・・・。』 と・・・ポイッ…。. 分からないままですので 倍数判定の問題が絡むたびに　『ぐぁ～・・・なんか嫌なんだよねぇ～…。』とブツブツ文句を言い続けております・・・。 私共親子でも理解できます様　かみ砕いてお教え頂けますと有難いです。 宜しくお願いいたしますm(__)m。

0と1のみを使って全ての数を比べた時に5桁で4つ以上異なるような数字を4つ作ってください！ 例えば3桁で2つ異なるものの4つは 000 110 101 011 となります。これら4つはどれを比べても２つ異なっています。同様に5桁の異なるものを作ってください。それとも5桁では作れませんか？ 5桁で作るとしたら最低何桁必要でしょうか？

0と1のみを使って全ての数を比べた時に5桁で4つ以上異なるような数字を4つ作ってください！ 例えば3桁で2つ異なるものの4つは 000 110 101 011 となります。これら4つはどれを比べても２つ異なっています。同様に5桁の異なるものを作ってください。それとも5桁では作れませんか？ 5桁で作るとしたら最低何桁必要でしょうか？

無限集合が存在しないことを証明しました。 以下の証明が合っているかどうか知りたいです。よろしくお願いします。 <定義> 集合の系列、A1,A2,・・・An・・・について、以下の条件が成り立っているとき、そのときに限り、この系列を、無限拡大系列と呼ぶことにします。 1:任意のnについて、An⊆An+1 <証明> 無限拡大系列が存在すると仮定します。任意の無限拡大系列をI1,I2,・・・In・・・とします。I1,I2,・・・In・・・の和集合をI∞とします。あるnについて、I∞=Inと仮定します。まず、無限拡大系列の定義より、In⊆In+1となるIn+1が存在します。よって、I∞⊆In+1。しかし、I∞の定義より、In＋1⊂I∞。よって、矛盾が生じました。よって、全てのnに対して、、I∞≠In。そして、I∞の定義より、全てのnに対して、In⊂I∞。よって、全てのnに対して、In⊆I∞。これより、I∞を全体集合としたときの、I1,I2,・・・In・・・の補集合をそれぞれ、I1',I2',・・・In'・・・とすれば、全てのnに対して、In'は空集合ではありません。そして、無限拡大系列の定義から、I1'⊇I2'⊇・・・⊇In'・・・となることが分かります。よって、I1',I2',・・・In'・・・の共通部分は空集合ではありません。よって、I1',I2',・・・In'・・・の共通部分の補集合、つまり、I∞が、全体集合であるI∞と等しくなりません。よって、矛盾が生じました。よって、無限拡大系列は存在しないとなります。そして、無限集合が存在すれば、無限拡大系列は存在することになってしまいます。よって、無限集合は存在しないとなります。

高校数学を独学で勉強している者です。 実数にも、ある実数の次の実数みたいなものが存在することの証明を考えました。 <証明> r,y,xがRを議論領域としているとします。 (∃r)(∀y)(∃x)[r≧y∨(r＜x∧y＞x)]と仮定します。 この命題が存在を主張しているrをr1とします。そうすると、 (∀y)(∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]となります。よって、 (∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]。 r1より大きい任意の実数をy1として、yに代入します。そうすると、 (∃x)[r1≧y1∨(r1＜x∧y1＞x)]。よって、 (∃x)[r1＜x∧y1＞x]。 ここで、y1はr1よりも大きい任意の実数だったので、 (∃x)[r1＜x∧r1≧x]。 これは、矛盾です。 よって、(∀r)(∃y)(∀x)[r＜y∧(r＜x⇒y≦x)]が成り立つことになります。 上の証明が合っているかどうか知りたいです。 よろしくお願いします。

高校数学を独学で勉強している者です。 実数にも、ある実数の次の実数みたいなものが存在することの証明を考えました。 <証明> r,y,xがRを議論領域としているとします。 (∃r)(∀y)(∃x)[r≧y∨(r＜x∧y＞x)]と仮定します。 この命題が存在を主張しているrをr1とします。そうすると、 (∀y)(∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]となります。よって、 (∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]。 r1より大きい任意の実数をy1として、yに代入します。そうすると、 (∃x)[r1≧y1∨(r1＜x∧y1＞x)]。よって、 (∃x)[r1＜x∧y1＞x]。 ここで、y1はr1よりも大きい任意の実数だったので、 (∃x)[r1＜x∧r1≧x]。 これは、矛盾です。 よって、(∀r)(∃y)(∀x)[r＜y∧(r＜x⇒y≦x)]が成り立つことになります。 上の証明が合っているかどうか知りたいです。 よろしくお願いします。

高校数学を独学で勉強している者です。 実数にも、ある実数の次の実数みたいなものが存在することの証明を考えました。 <証明> r,y,xがRを議論領域としているとします。 (∃r)(∀y)(∃x)[r≧y∨(r＜x∧y＞x)]と仮定します。 この命題が存在を主張しているrをr1とします。そうすると、 (∀y)(∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]となります。よって、 (∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]。 r1より大きい任意の実数をy1として、yに代入します。そうすると、 (∃x)[r1≧y1∨(r1＜x∧y1＞x)]。よって、 (∃x)[r1＜x∧y1＞x]。 ここで、y1はr1よりも大きい任意の実数だったので、 (∃x)[r1＜x∧r1≧x]。 これは、矛盾です。 よって、(∀r)(∃y)(∀x)[r＜y∧(r＜x⇒y≦x)]が成り立つことになります。 上の証明が合っているかどうか知りたいです。 よろしくお願いします。