• 締切済み

虚数の定義について

教科書では虚数は、i^2=-1と定義されていますが、これは実数上で累乗の計算が可能であり、そこから複素数上でも累乗可能だと仮定が組み込まれているように思います。しかし、√-1×√-1≠1のように実数上で成り立っていた計算が、複素数上で成り立他なくなる事例があるように、仮定が成り立たなくなり、教科書の方法では矛盾が生じてしまうと思いますが、どうでしょうか？

みんなの回答

  • nananotanu
  • ベストアンサー率31% (714/2263)
回答No.3

>√-1×√-1≠1 そもそも、此処が間違っています。 √a×√a=a^2において a=1の時は成り立ちますよね a=-1の時は、素直に代入して √-1×√-1=(-1)^2=1≠-1で成り立たない、というわけでなく √-1はiなので √-1×√-1=(i)^2=-1と考えればいいのです。なんでこんな変なことになったかというと、先の回答者さんが書かれたように√a×√a=a^2は実数に於いて成り立つ式なのに、虚数に当てはめようとしたからです。

  • f272
  • ベストアンサー率46% (8009/17115)
回答No.2

実数で成り立っていた計算は，すべて複素数上でも成り立ちますよ。 > しかし、√-1×√-1≠1のように実数上で成り立っていた計算 これは実数上の計算ではありません。

  • watanabe04
  • ベストアンサー率18% (295/1597)
回答No.1

√-1×√-1≠1のように実数上で成り立っていた計算 根号の中にマイナスが入った時点で複素数の計算となり、 実数の計算ではありません。正しくは √-1×√-1=i×i=-1 となります。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • ２の虚数乗は複素数になるか？

    虚数iの2乗は-1になると習ったことがあります。 では、2のi乗は複素数になるのでしょうか？ 私の知っている限り、複素数はa+ib(a,bは実数)となるように習ったと思います。 オイラーの式でeのiπ乗は-1になることも習ったことがあります。 しかし、eの場合は特別なのではないかと思います。 虚数乗の意味もわかりません。 このような計算は許されていないのでしょうか？ 教えてください。

  • 現実にあるものに虚数を用いる事は

    勉強をしていてハタと思ったので質問させていただきます。 ワタシが高校生だった時、数学の時間、先生に質問として「虚数は存在しない数なのにどうしてグラフに書き表せるんですか？」と質問して答えてもらえなかったのですが、これはどうしてなのでしょうか？虚数は「本当はありえないけど、ありえると仮定して…」いるからグラフに書けるのでしょうか？ またコレが一番聞きたいことなのですが、ワタシは工学部なのでラプラス変換をやります。ラプラス変換は時間関数を複素数関数いすることだと教えられました。 フーリエも同様に計算を簡単にする為に複素数を使いますよね？（電気関係でもコイルやコンデンサにも） これらを虚数、つまりありえないけど、ありえると仮定した数で計算する理由ってあるのでしょうか？ 工学屋は使えれば定義云々をとやかく言わないと別の先生にも言われたことがあるのですが、少し気になったもので…

  • 実数と虚数と複素数って何ですか?

    実数と虚数と複素数って何ですか? 実数はプラスの数字のことですか？ 虚数がマイナスの数字？ 複素数はプラスとマイナスどちらでも良い数字ってこと？

  • 純虚数？？

    ｆ(ｘ)=(ｘ-1)(ｘ^2+2ａｘ-ａ+6)=０が純虚数の解を持つためには、2次方程式(ｘ^2+2ａｘ-ａ+6)=０が純虚数の解をもてばよい。 2ａ=０かつ-ａ+6＞0であるから、ａ=0のときである。 とありますが、純虚数の意味はわかるのですが、（（複素数は実数a,bを用いて、a+bi(iは虚数単位)の形で表されます。このうちb=0の場合が実数で、a=0の場合すなわちbiの形のものを純虚数という。）byネット）どうして、2ａ=０かつ-ａ+6＞0になるんですか？？-ａ+6＞0は-ａ+6＞0=０ではだめなんですか？？ よくわからないので、どなたか教えてください・・・お願いします！！

  • 虚数係数？の三次方程式について

    (問題)aを定数とする。x=2-iが三次方程式x^3+3x^2+x+aの解であるとき、この方程式の実数解を求めよ。 という問題で、x=2+iを共約な解とおいてといたところ、解答に以下のように書いてありました。 「aが“実数の”定数である、という仮定がなされていれば、共約な複素数を用いて解くこともできる(この仮定が満たされないなら、三次方程式が実数解を持つことはないが、問題としておかしいことにはならない)」 これはつまり、 (1) 実数の係数という仮定がないなら共約な複素数を用いて解くことはできない (2)aが実数でないなら、実数解はなしである ということなんですか？実数解がないのに３つ解を持つことは出来るんですか？ 問題は実数係数の三次方程式ばかりで、旧課程ではあまり複素数を扱わないのでちんぷんかんぷんです。教えて下さい。

  • 複素数

    複素数について質問させて頂きます。 参考書には、 「複素数zが実数でない場合つまり、虚部が0でないときｚは虚数である」という。 というように記載されていました。 私は複素数は常に虚数だと認識していましたがそうでない場合もあるのでしょうか？ 複素数zが実数でない場合と記載されていたので複素数が実数の場合もあるのでは ないかと考えた次第です。 つまり、 z=x+iy （z：複素数、x,y：実数、i：虚数単位） において、y=0の場合でもzを複素数と呼ぶのですか？ 上記の場合、zは虚数ではないですが複素数とは言えるのでしょうか？ 複素数の定義は、 実数x,yと虚数単位iを用いてz=x+iyの形で表すことのできる数です。 （定義にy≠0は特に記載されていませんでした。） なので、z=x+iyにおいてy＝0の場合は複素数とは言わないと考えています。 質問内容を整理しますと、 （1）複素数は常に虚数である （2）z=x+iyにおいて、y=0のときzは複素数ではない 　　複素数の定義にy≠0は必要なのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • 虚数と複素数の違いについて

    タイトルのとおりです。 参考書には α=a+bi (a,b∈R) の時αを複素数といい、特にb=0の時は実数、a=0の時は虚数、という. と書いてあります。 しかし、とある問題で "....虚数α=a+bi (a,bは実数)について...." というような記述がありました。この場合"複素数"が正しいのでは無いでしょうか？ それともそもそもそれほど厳密に使い分けられていないのでしょうか？

  • 虚数の問題です

    「複素数の問題です。虚数aは次の条件をみたしている。α,α^2,α^3,α^4,α^5は相異なり、これら５つの数を解に持つ実数係数の５次方程式が存在する。｜α｜= 1を示してください。」という問題です。 複素数平面でαがどういう値か求めるにはどうすればよろしいでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 実数と虚数は同等なものですか

    発見の順序からいえば実数のほうが先なのでしょうが、何となく虚数のほうが先にあったような気がします。何の根拠もありませんが複素数の体系ではどうなっているのでしょうか。

  • √虚数は有りですか?

    任意の実数a,bにおいて、 [√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]^2=a+b i となります(r=√(a^2+b^2), i は虚数単位)。 では、√(a+b i ) = ±[√{ (a+r)/2 } +√{ (a-r)/2 } i ]となりますか? それとも複素数の平方根は存在しないのでしょうか? 回答をよろしくお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する