コラッツ予想とエルディッシュ分数予想について
- 今回はコラッツ予想が正しいと仮定すれば、エルディッシュ分数予想が正しいことを実験的に証明してみたいと思います。
- コラッツ予想とは、奇数の数列が必ず1に収束するという予想です。
- エルディッシュ分数予想は、分数が解ける数に関する予想であり、任意の偶数を代入して計算することが可能です。
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分数の未解決問題のことで質問です
今回はコラッツ予想が正しいと仮定すれば、エルディッシュ分数予想が正しいことを実験的に証明してみたいと思います。自信はありませんが。 ⑴ ある奇数の数列 p［n］を考えます p［n］は 奇数でないといけないと仮定します。p［１］をスタート場所と 考えた時、p［１］は奇数であるとします。次の式が成り 立つとします。 （２＾s）・p［n］＝３・ p［n−１］＋１ ① と式をあらわした時、十分に大きな数をLとした時に、 p［L］＝１ となる予想がコラッツ予想だと思っています。 （２＾s）・p［n］＝３・ p［n−１］＋１＝m ② ⑵ こちらの予想はエルディッシュの分数予想で、 a、b、c は任意の自然数を代入可能で、Q［k］は 分数が解ける数で、 Q[k］＝２４・k＋１＝４abcーbーc ③ です。 ここで、m＝ab とおきmの約数を σ（m）で表すと Q[k］＝４mcーcーσ（m）＝（４mー１）cーσ（m）④ となります。ちなみにmは偶数です。 ここで④の式のmは任意の偶数ですので、 m＝３・p［n−１］＋１を代入して計算することが可能で、 計算してみると②と④より Q［k］＝（１２・p［n−１］＋４−１）cーσ（m） ＝３（４・p［nー１］＋１）cーσ（m） ＝１２・c・p［n−１］＋３cーσ（m） ⑤ となります。 ここでQ[k］＝２４k＋１、kは自然数です。 Q［k］＝１２・c・p［n−１］＋３cーσ（m）＝２４k＋１ ここで、 １２・c・p［n−１］＝２４k ⑥ ３cーσ（m）＝１ ⑦ とおくと、⑦より ３cー１＝σ（m） dをある自然数とすると、 m＝d・（３cー１） ⑧ ⑥より １２・c・p［n−１］＝２４k c・p［n−１］＝２k ⑨ ②、⑧より ３・p［n−１］＋１＝m＝d・（３cー１）となりますので、 d＝２とおけば良いと思います。ですのでmは偶数です。 このことを実験的に確かめてみます。 k＝１８の時は Q［１８］＝２４・１８＋１＝４３３ ⑨より c・p［nー1］＝２・１８ c・p［nー1］＝３６ c＝４、p［nー1］＝９、k＝１８、となり、 m＝d・（３cー１）＝d・１１＝２２ Q[k］＝１２・c・p［nー1］＋３cーσ（m） Q［１８］＝４８・９＋１２ーσ（２２） ＝４３２＋１ ＝４３３ となります。
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k=18の時 Q[18]=24*18+1=433=4abc-b-c 433=4abc-b-c ↓c=4だから 433=4ab*4-b-4 433=16ab-b-4 437=16ab-b ↓ab=m=22だから 437=16*22-b 437=352-b b=-85<0 となって bが正整数(自然数)であることに矛盾するから 証明できていません エルディッシュの分数予想とは 任意の自然数Qに対して 4/Q=1/x+1/y+1/z となる自然数x,y,zが存在する という事なのです (x,y,zは任意ではありません) だから 433に対して 433=4abc-b-c となるような 自然数a,b,cが存在する事を証明しなければいけないのです
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