新たに挑戦。エジプトの分数問題

質問

エジプトの分数問題が、解けたような気がするので、再度挑戦します。
　e*P(e,f,g,h)=4*e*f*g*h - h - f (1)
　Q(a,b,c)=4*a*b*c - b - 4c (2)
わかりやすくするため、式を変形する。P()＝Q()=24*n+1とする。
4*e*f*g - {(24*n+1)*e+f}/h=L=1 ?
(4*b - 1)*a - {(6*n+b)/c｝=K=1 ?
適当に値を代入して、L=1またはK=1に
になれば、等式が成り立ち、解が存在するだろう。
なので、L≠1の時に、K=1とすることができることを証明する。
それにより、(1)の式の解がないとき、(2)の式に必ず解が見つけることが
できることを表す。
　4*e*f*g - {(24*n+1)*e+f}/h=L
e=4*b - 1,f=1　とおくと
　4*(4*b - 1)*g - 1{(24*n+1)*(4*b - 1)+1}/h=L
　4*(4*b -1)*g={(24*n+1)*(4*b - 1)+1}/h+L
h=4m　とおく
　4*(4*b - 1)*g={(24*n*b+b - 6*n)/m}+L
ここで式を変形してKを代入する。
(4*b - 1)*a - (6*n+b)/c=K
(4*b - 1)*a={(6*n+b)/c}+K
a=4d　とおくと
　4*(4*b - 1)*d={(6*n+b)/c}+K
4*(4*b - 1)=[{(24*n*b+b - 6*n)/m}+L]/g
=[{(6*n+b)/c}+K]/d
nがどんなときにもK=1になることから、
　{(24*d*b)/(g*m)} - {(6*d)/(g*m)} - {6/c}=0 (3)
　{(d*b)/(g*m)}+{(d*L)/g} - {b/c}=K (4)
(3)より
　{(4*d*b)/(g*m)}={d/(g*m)}+{1/c}
{d/(g*m)}*(4*b - 1)={1/c}
{d/(g*m)}=[1/{c*(4*b - 1)}]
(4)より
　{d*(b+L*m)/(g*m)} - {b/c}=K
[(b+L*m)/{c*(4*b - 1)}] - {b/c}=K
ここで、Lが１以外の時にK=1となる数
ｂ、ｃが存在する、たとえば、
L*m=(b+c)*(4*b-1)-b とおけば
{(b+c)/c}-{b/c}=1=K
となり、K=1とすることができる。
少し厳密性がありません。いい加減な証明です。

回答No.7

jcpmutura · ベストアンサー

c=4mg-6n-b
とすると

(b+c)(4b-1)-b
=(4mg-6n)(4b-1)-b
=4mg(4b-1)-6n(4b-1)-b
=4mg(4b-1)-24nb-b+6n
=Lm

だから

L,m,n
に対して
c=4mg-6n-b
Lm=(b+c)(4b-1)-b
となるような整数b,cが存在するとはいえるれども

「
L≠1の時に、K=1とすることができることを証明する
」
とあるように
K=1はこれから証明すべき事なので
「
nがどんな値であってもK=1にならないといけない
…
nの式　、n*0が成り立つ形にする
」
事ができるとはいえないので
{(24db)/(gm)}-{(6d)/(gm)}-{6/c}=0…(3)
cd(4b-1)=gm
c=4mg-6n-b
(4mg-6n-b)d(4b-1)=gm

となるような整数d,b,g,mが存在するともいえないので

(4mg-6n-b)d(4b-1)=gm
となるような整数d,b,g,mが存在する事
を証明しなければなりません

お礼

言いたいことが分かってきたのですが、考えているうちに、精神がやんできてしまったので、やめたいと思います。　どこか変だというのはわかるのですが、矛盾点が指摘できないので、やめます。　ご指摘、どうもありがとうございました。

回答No.6

jcpmutura

L,mに対して

Lm=(b+c)(4b-1)-b

となるような整数b,cが存在するとはいえないので

Lm=(b+c)(4b-1)-b

となるような整数b,cが存在する事の証明が必要です

Lm=(b+c)(4b-1)-b=2b(2b-1)+c(4b-1)
Lm-2b(2b-1)=c(4b-1)
となるような整数b,cが存在するためには
Lm-2b(2b-1)が整数4b-1で割り切れる整数でなければなりません
そのためにはLも整数でなければなりません

4efg-{(24n+1)e+f}/h=L≠1
でLは整数でなければならないのだから

4efg-{(24n+1)e+f}/h=L≠1
となるような
整数e,f,g,h,Lが存在する事を証明しなければいけません

補足

少し疲れていますが、頑張ります。
d*L=(b+c)*(4*b - 1) - b,m=d,g=(4*b - 1)*c
を代入なり変形してみたら、K=1になりました。
ただ、どこか計算間違しているかもしれませんが。
私としては
d*L=(b+c)*(4*b - 1) - b (9)
の証明が出来ればいいところなのですが、出来そうに
ありません。が、もう少し待っていてください。
何とかなるかもしれませんので。具体的に、
ｂ＝２としても、求まりそうに思えるのですが。

回答No.5

jcpmutura

「
L≠1の時に、K=1とすることができることを証明する
」
とあるように
K=1はこれから証明すべき事なので
「
nがどんな値であってもK=1にならないといけない
…
nの式　、n*0が成り立つ形にする
」
事ができるとはいえないので
{(24db)/(gm)}-{(6d)/(gm)}-{6/c}=0…(3)
cd(4b-1)=gm
となるような整数c,d,b,g,mが存在するともいえないので

cd(4b-1)=gm
となるような整数c,d,b,g,mが存在する事
を証明しなければなりません

なお
4efg-{(24n+1)e+f}/h=L≠1
e=4b-1
f=1
h=4m
4(4b-1)=[{(24nb+b-6n)/m}+L]/g
=[{(6n+b)/c}+K]/d
となるような整数b,c,g,mは
任意の整数b,c,g,mに対してこの式が成り立つように
K,Lを適当な実数に決めればよいかもしれないけれども

cd(4b-1)=gm
となるような整数c,d,b,g,mが存在する事
は証明しなければなりません

しかし
cd(4b-1)=gm
となるような整数c,d,b,g,mが存在する事の証明ができていません

回答No.4

jcpmutura

「
L≠1の時に、K=1とすることができることを証明する
」
とあるように
K=1はこれから証明すべき事なので
「
nがどんなときにもK=1になることから、
」
とはいえないので証明が必要です。

補足

>nがどんなときにもK=1になることから

これは日本語が変ですね。すみません、訂正します。

訂正文：ｎがどんな値であってもK=1にならないといけない
　　　　という証明なのでｎの式とその他の式に分類します。
　　　　そして、ｎの式　、ｎ＊０　が成り立つ形にします。

回答No.3

jcpmutura

「
L≠1の時に、K=1とすることができることを証明する。
それにより、(1)の式の解がないとき、(2)の式に必ず解が見つけることが
できることを表す。
」
としていますが、
(1)の式の解がないとき、
与えられた
P()=24n+1
に対して
eP()=4efgh-h-f
となるような整数e,f,g,hは存在しません
したがって

4efg-{(24n+1)e+f}/h=L≠1
となるような
整数e,f,g,hが存在する事もいえないので証明する必要があります。

また
e=4b-1
f=1
h=4m
とおける事もいえないので証明する必要があります
「
4(4b-1)g={(24nb+b-6n)/m}+L
ここで式を変形してKを代入する。
(4b-1)a-(6n+b)/c=K
」
としていますが
どのように変形しているのか不明なので証明の必要があります
Kをどこに代入しているのか不明なので証明の必要があります

補足

すみません、大きなミスをしてました。(2)の式が間違っていたので修正させていただきます。
修正した式
　Q(a,s,c)=4*a*s*c - s - 4*c
Kの式の導出方法
　Q(a,s,c)=24*n+1 であるとき
24*n+1=4*a*s*c - b - 4*c
となる。
　ここで、s=4*b - 1,とおくと
24*n+1=4*a*(4*b - 1)*c - 4*b+1 - 4*c
24*n=4*a*(4*b - 1)*c - 4*b - 4*c
ここで4で割って、
　6*n+b=4*a*b*c - a*c - c
となり、cで割って、式を変形して、
　(4*b - 1)*a - {(6*n+b)/c}=K(n,a,b,c)=1 ?
となって、Kが出てきます。

回答No.2

jcpmutura

P()=24n+1
に対して
4efg-{(24n+1)e+f}/h=L
e=4b-1
f=1
h=4m
となるような
整数b,g,m,Lが存在する事の証明ができていません

n=17
P()=24n+1=24*17+1=409
の時
4efg-{(24n+1)e+f}/h=L

e=4b-1
f=1
h=4m

409(4b-1)=16(4b-1)gm-1-4mL
となるような
整数b,g,m,Lが存在する事の証明ができていません

回答No.1

jcpmutura

n=17
P()=Q()=24n+1=24*17+1=409
の時
4efg-(409e+f)/h=L
の
e=4b-1
f=1
g
h=4m
はどのような値なのか
証明できてません

補足

書く紙面が足りなくなるといけないと思い、極力文章を省略したので
わかりにくくなったのではないかと思います。説明不足で申し訳あり
ません。
　さて、次に基本の方程式が２つあるのがわかります。
その中の1つの式である次の式
e*P(n)=4*e*f*g*h - h - f (1)
この式を変形します。
　4*e*f*g*h - {e*P(n)+f}=h 　　(5)
(5)の式をhで割ります。
　4*e*f*g - {(e*P(n)+f)/h}=1
e,f,g,hの値を代入したときに値が1になればいいのですが、
そうとはかぎらないので、(6)の式＝Lとおきます。
4*e*f*g - {(e*P(n)+f)/h}=L
L=1ならば、解を持つのは自明であるのかもしれません。
(1)の式で求まればいいのですが、もし、L≠1となってもと
まらない場合にはどうしたらいいかということが、この
証明の問題です。P(n)=24*n+1で、P(n)の下1桁の数が
３か７の場合には、(1)の式で解けることが分かっている
ので、ｎ＝１７、P(n)=409の場合どうするのかという質問は
かなりシビアではあります。(1)の式で求まってしまうのなら
(2)の式を使う必要はありません。そのことか説明不足
でした。ｎ＝17の場合を(1)の式で解けるか調べてみましょう。
ぱっと見で(1)の式で解けるかどうかはわかりませんが、(2)の式は
Q(n)＝７ｗ－４の形になっているので、たぶん解けるのではない
かと思われます。ということで、(1)の式ではたぶん解けないが、(2)
の式では解けることがわかります。たぶん。
Q(17)＝4*2*59*1-59-4=409
　ｈ＝４ｍはどういうものかというのは1次連立方程式の解が存在
するためには、互いに素でないと解が存在できないので、4で割って、
奇数に変形したのです。