一般2次曲線の放物線型

質問

4x^2-4xy+y^2-10x-20y=0・・・(1)を標準形になおす問題で、計算手順がわからないので質問します。
(xyの係数)^2-4(x^2の係数)*(y^2の係数)=16-16=0で(1)は放物線であることはわかるのですが、(1)をxについて偏微分したものの方程式=0と、yについて偏微分したものの方程式=0を連立方程式として解こうとすると、
(xyの係数)^2-4(x^2の係数)*(y^2の係数)=0・・・(2)より連立方程式が解を持たないので、(1)の原点を平行移動した方程式が求まりません。
楕円型などでは、(xyの係数)^2-4(x^2の係数)*(y^2の係数)≠0より、与えられた方程式を平行移動した式が求まり、そこから、tan2θ=(xyの係数)/{(x^2の係数)-(y^2の係数)}・・・(3)を満たすθだけ、座標軸の回転(tanθ=1/2のとき、sinθ=1/√5,cosθ=2/√5より原点を平行移動した座標軸をX,Yとし、さらに座標軸をθ回転した座標軸をX',Y'とすると、X=(1/√5)*(2X'-Y')とY=(1/√5)*(X'+2Y')を原点を平行移動した方程式に代入すると、xyを含む項が消える。)した式を求めて答えの方程式をもとめています。
また(1)の座標軸を回転移動した軸をＸ,Ｙとすると、(2)より回転移動後のX^2かY^2の係数は0になるということで、(1)における(3)を求めて、tanθ=-1/2よってsinθ=-1/√5,cosθ=2/√5まで求めたのですが、tanθ=-1/2でX^2の項が消えるか、Y^2の項が消えるかどちらかわからないので、計算しようがないです。
どなたか、一般2次曲線の放物線型において、座標軸を平行移動した方程式と、座標軸を回転移動する式を代入する方程式、の求め方を教えてください。お願いします。

回答No.2

musume12

http://math-juken.com/kijutu/2jikyokusenhanbetu/

を読めばより深い理解が得られると思う。

お礼

詳しい説明が書かれていました、ご紹介ありがとうございます。

回答No.1

gamma1854

D=0 ゆえ、「無心２次曲線」です。
このグラフを原点のまわりに α=arctan(1/2) だけ回転して、
Y = {1/(2√5)}*X^2
を得ます。
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※ 点(x, y)を原点のまわりに角αだけ回転して (X, Y) になるものとすると、回転行列 R(α) をかけて、
(X Y) = R(α)*(x y) ⇔ (x y) = R(-α)*(X Y)
ですから、
x = X*cos(α) + Y*sin(α), y = -X*sin(α) + Y*cos(α).
なる関係があります。
これを原式に代入し、XY の係数を０と,なるようにαを選んでください。
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お礼

平行移動した式を考えずに、問題に書かれた式に座標を回転する式を代入したら、お返事どおりの放物線になりました。xyの項を消す計算手順の説明ありがとうございます。