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Uを空でない集合、sを写像 s:U→Uとする。U上
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Uを空でない集合, sを写像s:U→U s^0(x)=xとする R={(x,y)∈U×U;y=s^n(x)となる非負整数nがある} とする (x,y)∈R とする y=s^n(x)となる非負整数nがある n=0の時(a)から x≦x=s^0(x)だから x≦s^0(x)が成り立つ ある非負整数kに対して x≦s^k(x)が成り立つと仮定すると (b)から x≦s^(k+1)(x) が成り立つから すべての非負整数nに対して x≦s^n(x) が成り立つから x≦s^n(x)=y ∴Rのすべての要素(x,y)に対して x≦y が成り立つから U上の関係≦を x≦y ←→ (x,y)∈R と定義すれば (a) (x,x)∈R→x≦x (b) x≦y→(x,y)∈R→∃n(y=s^n(x))→s(y)=s^(n+1)(x)→(x,s(y))∈R→x≦s(y) を満たす 最小関係となる (ア) s(x)≦y ならば (s(x),y)∈R だから y=s^n(s(x))=s^(n+1)(x) となる非負整数nがあるから (x,y)∈R だから x≦y が成り立つ (イ) x≦yかつy≦zならば (x,y)∈R,かつ,(y,z)∈R だから y=s^n(x),z=s^m(y) となる非負整数m,nがあるから z=s^m(y)=s^m(s^n(x))=s^(m+n)(x) だから (x,z)∈R だから x≦z が成り立つ
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